Page 118 - 07

Для спрощення системи (6) повернемо систему координат послідовно на ку-
ти b = arctg(z / x ) і g = arctg(y / z 2 x + 2 ) навколо осей Oy і Oz, відповідно.
0 0 0 0 0
У результаті цього радіус-вектор для нульового ПАЕ збіжиться з віссю абсцис
Ox. У новій системі координат для радіус-векторів ПАЕ одержуємо:

(A
r i '' = A × y r× ') , (7)
z
i
де i = 0,1, 2 , а A і A – матриці повороту, які дорівнюють
y z
 cos( )b 0 sin( )b   cos( )g - sin( ) 0g 
   
A =  0 1 0  , A =  sin( )g cos( )g 0 (8)

y
z
   
 - sin( ) 0 cos( )b b   0 0 1 
та r '' (1, 0,0)= .
0
Повертаючи нову систему координат навколо осі Ox на кут b = arctg( '''/z y ''') ,
1 1
можна отримати радіус-вектор для першого ПАЕ з нульовою координатою z . В
одержаній системі координат радіус-вектори ПАЕ дорівнюють

r i ''' = A r× i '' = x (A× z (A× r i '))×, (9)
A
x
y
де i = 0,1, 2 , а матриця повороту A буде
x
 1 0 0 
 
A =  0 cos( )a sin( )a . (10)

x
 
 0 - sin( )a cos( )a 
Тоді система рівнянь (6) набуде вигляду
 2
'''
 x '''x 1 '''+ y y 1 '''= c x ''' s- 1 1 ( ''') ;x-
1
 2
'''
'''
 x '''x 2 '''+ y y 2 '''+ z z 2 '''= c x ''' s- 2 1 ( ''') ;x- (11)
2
 2 2 2
 ( ''')x + ( ''')y + ( ''')z = 1.

Розглянемо випадок, коли y 1 ''' 0¹ . Помножимо перше рівняння системи
(11) на y '''/ y ''' та віднімемо від другого. Отримаємо систему рівнянь
2 1
 2
'''
 x ''' x + y y = c x ''' s- 11 1 ( ''') ;x-
11
11
11
 2
 x ''' x + z z = c x - 21 1 ( ''') ;- x (12)
'''
''' s
21
21
21
 2 2 2
( ''') + z
 ( ''') + y ( ''') = 1,
x

s
,
де x = x 1 ''', y = y 1 ''', c = c s = , x = x 2 ''' y- 2 ''' x 1 '''/ y 1 ''' , z 21 = z 2 ''',
1
11
21
11
11
11
1
c = c - c y '''/ y ''' , s = s - s y '''/ y ''' . Для z ¹ 0 перенесемо доданки з x у
21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21
праву сторону. Тоді
 2
 y '''= x x ''' s- 1y 1 ( ''') ;x-
1y

''' s
z  '''= x x - 2z 1 ( ''') ;- x 2 (13)
2z
 2 2 2
x
( ''') + z
 ( ''') + y ( ''') = 1.

Тут x = (c - x )/ y , s = s / y , x = (c - x )/ z , s = s / z . Підста-
1y 11 11 11 1y 11 11 2z 21 21 21 2z 21 21
вимо перше і друге рівняння системи (13) в останнє, розкриємо дужки та згру-
пуємо. Отримаємо рівняння
124