Page 24 - 07

где x i и y i – данные наблюдений; y(x) – аппроксимирующая функция.
Очевидно, что вычислить характеристику (8) для экспериментальных значе-
ний (E i, T i) в приближении (7) не сложно. Но полученная так величина имеет раз-
мерность энергии разрушения, а цель работы – определить эту характеристику
для КТХ. Если найти функцию T(E), обратную функции (7)
T ( )E = T + C arcth ((E× A- )/ )B , (9)
0
то оценить дисперсию данных (E i, T i) прямым использованием формулы (8) не-
возможно, поскольку некоторые экспериментальные значения E i находятся вне
области определения функции (9). Поэтому для разработки метода расчета раз-
броса значений КТХ необходимо вначале решить вспомогательную задачу, т.е.
определить изменение аппроксимирующей функции для данных (x i, y i), i = 1, N
при приращении y N = y N +∆.
Тестовая задача № 1. Экспериментальные результаты нужно аппроксими-
ровать функцией-константой y(x) = а. Для простоты примем идеализированный
вариант данных: y i =M, i" = 1,N , как показано на рис. 2а. Дадим прирост ∆ пос-
ледней точке и определим, насколько изменится функция в ней.
Используя МНК, нетрудно установить, что в первом случае a=M, а во вто-
ром a=M+∆/N. Следовательно, при аппроксимировании экспериментальных дан-
ных функцией-константой и предоставлении какой-то точке прироста на величину
∆, аппроксимирующая функция в этой точке изменится на величину D/N. Она харак-
теризует степень влияния одной точки на изменение функции от аргумента этой точки.
Тестовая задача № 2. Аппроксимация линейной функцией y(x) = аx + b. Для
простоты математических преобразований предположим, что существует N/2
точек, в которых x i = y i = 0 и, соответственно, N/2 точек, где x i = k,
y i =2·k (рис. 2b). С помощью МНК получаем а = 2 и b = 0.

Рис. 2. Иллюстрация
данных к тестовым
задачам № 1 и 2.
Fig. 2. Illustration of data to
the test problems № 1 and 2.

Как и в задаче № 1, дадим прирост ∆ последней точке и определим измене-
ние функции в ней. После простых арифметических преобразований получим
а = 2+2D/Nk и b=0. Значение этой функции при x = k станет равным не 2 k, а
2 k+2D/N, т.е. ее изменение в этой точке составляет уже 2D/N.
Следовательно, в зависимости от количества констант изменение аппрокси-
мирующей функции в какой-то экспериментальной точке при предоставлении ей
прироста ∆
n c
f D = D × , (10)
N
где n – количество констант аппроксимирующей функции.
c
Несмотря на то, что справедливость уравнения (10) доказана только для линей-
ных функций с одной и двумя константами, примем, что это допущение справедливо
для всех функций. Ведь математически доказать утверждение (10) для нелинейных
функций типа (7), константы которых даже с помощью МНК можно найти только
итерационным способом, невозможно. Справедливость уравнения (10) для функции
(7) продемонстрируем на численных тестовых примерах.
Очевидно, что в обратной задаче (предсказать отклонение точки по известному

30