Page 80 - Zmist-n2-2015

мірному формулюванні розглянемо пружну півплощину з крайовою прямоліній-
ною довільно орієнтованою тріщиною (рис. 1). Півплощину віднесемо до систе-
ми координат xOy, вісь Ox якої збігається з краєм півплощини, а початок O – з
гирлом тріщини. Саму тріщину віднесемо до локальної системи координат x 1O 1y 1
з початком у гирлі. Контактний тиск колеса на рейку моделювали однонапрямле-
ним повторним поступальним переміщенням уздовж краю півплощини (справа
наліво) герцівських контактних зусиль з дотичною складовою
2
s ( )x = - (1 if+ s ) ( )p x = p- 0 (1 if+ s ) a 2 (x- x - ) / ,a x x - a £, (1)
0
0
де f s – коефіцієнт тертя проковзування між тілами кочення; p 0 – максимальне зна-
чення контактного тиску; a – півдовжина ділянки контакту. Поздовжні ЗН моде-
лювали одновісними рівномірними стискальними зусиллями p r на нескінченнос-
ті. Розташування ділянки контакту відносно гирла тріщини визначає параметр
l = x 0/a, відносну довжину тріщини - параметр e = l/a, а її орієнтацію - кут b.

Рис. 1. Схема головки рейки
з крайовою тріщиною під дією
модельного контактного
навантаження та стискальних
залишкових напружень;
D - напрям руху контактного
навантаження.

Fig. 1. Scheme of a rail head with an edge crack under action of model contact load
and compressing residual stresses; D − direction of contact load motion.

Крайові умови задачі на краю півплощини і на нескінченності матимуть
відповідно вигляд
 s ( ),x x - x £ a ,

s y ( ,0)x i - t ( ,0)x =  0 (2)
xy
  0, x - x 0 > a ,
¥
s = p - . (3)
x
r
Береги тріщини за певних розташувань герцівського навантаження (деяких
l) і під дією ЗН можуть контактувати. Нижче розглянуто загальний випадок їх
контакту, а саме: проковзування з тертям та можливістю защемлення. Тоді кра-
йові умови задачі на берегах тріщини будуть такими:
± ±
N ( )x + iT ( ) 0, x 1 = x Î L ; (4)
1
op
1
+ -
v ( )x - v ( ) 0, x 1 = x Î L ; (5)
sl
1
1
± ɶ ± ±
T ( )x = f c sign[T ( )] |x 1 N ( ) |,x 1 x Î L ; (6)
1
sl
1
+ - + -
u ( )x - u ( )x 1 + [ i v ( )x 1 v - ( )] 0, x 1 = x 1 L Î ; (7)
st
1
+ - + -
N ( )x - N ( )x 1 + [ i T ( )x 1 T - ( )] 0, x 1 = x 1 L Î . (8)
1
st
При цьому на ділянках защемлення берегів тріщини виконується умова
± ±
|T ( ) |x 1 < f c | N ( ) |,x 1 x Î L . (9)
1
st
Тут контур прямолінійної тріщини L складається із сукупності ділянок L op, на
яких тріщина відкрита, ділянок L sl, на яких береги тріщини проковзують, та ді-
лянок L st, де вони защемлені. Через f c позначено коефіцієнт тертя між берегами
84