Page 81 - Zmist-n2-2015

тріщини, а через N і T, v і u – відповідно нормальні і дотичні складові зусиль на
берегах тріщини та переміщень її берегів у локальній системі координат x 1O 1y 1.
ɶ
Величина sign[ ( )]T x необхідна для визначення знаку дотичних контактних нап-
1
ружень, про що буде сказано нижче. Верхні індекси “+” або “–” означають гранич-
ні значення величин за наближення відповідно зверху або знизу до контуру тріщини.
Введемо в розгляд похідну від розриву невідомого вектора переміщень уз-
довж контуру тріщини L у вигляді суми двох функцій:
L
g¢ g 1 ( )t ¢ + g 2 ( ),t¢ t Î , (10)
( )t =
де
2G + -
g 1 ( )t =  v  ( )t - v ( )t  ; (11)

1 κ+
2iG + -
g 2 ( )t = - u  ( )t - u ( )t  . (12)
1 κ+  
У формулах (11), (12) G – модуль зсуву, k – стала Мусхелішвілі.
Задовольнивши з допомогою інтегральних зображень [13−15] комплексних по-
( )t
тенціалів Колосова–Мусхелішвілі, виражених через функції g¢ і g¢ , крайові
( )t
1
2
умови задачі (4)−(8), отримаємо систему сингулярних інтегральних рівнянь (СІР)
Re ( )D t = p t τ LÎ ; (13)
Re ( ),P
op
Im ( )D t + n Re ( )D t = [ Im ( )Pp n t Re ( )P+ ] , t τ L Î∪ L . (14)
sl
op
Тут функція
( )t
D (τ) = I{L op } ( ) I{g t ¢ + L ∪ L sl }g ¢ , (15)
1
2
op
а оператор I{L} визначає формула
I { } ( )L j t = ∫ L   R ( ,τ) ( )t t j S + ( ,τ) ( )t j   (16)
t dt .
Коефіцієнт n у формулі (14) набуває значень
 0, τÎ L op ,

n =  (17)
  - f c sign [ Im( (τ)) ,P ] τ Î L sl .
Функції R(t,t), S(t,t) – відомі ядра СІР для півплощини з крайовою відкритою
тріщиною [13]. Праву частину системи рівнянь (13), (14) визначають зовнішні
навантаження (2), (3) на півплощину через функцію [9, 15]
  Im ( )b t  2 βi 


)/2 , (18)
P ( )t = p 0  Re [ (1 if+ s ) ( )c t ] (1 if- s ) - if - c ( )e t  p r (1 e+ 2 βi -
s 

   a ( )t   
2 β i -
де ( )a t = 1 b- ( )t; ( )b t = e /a t λ-; ( )c t = a ( ) ibt - ( ) t.
Систему СІР (13), (14) розв’язуємо числовим методом механічних квадратур і
на основі цього розв’язку за відомою формулою [13] знаходимо коефіцієнти ін-
тенсивності напружень (КІН).
Слід зауважити, що межі ділянок контакту берегів тріщини наперед невідо-
мі. Їх визначаємо одночасно з розв’язуванням інтегральних рівнянь задачі з до-
даткових умов рівності нулю нормальних контактних напружень у цих межових
точках, а зони защемлення і проковзування самих ділянок контакту встановлює-
мо на основі додаткової умови (9). При цьому розв’язок контактної задачі будує-
~
мо методом послідовних наближень. У формулі (6) величина (xT 1 ) T= k (x 1 ) заді-

85