Page 62 - Zmist-n4-2015

(1) (2)
W
W = W + W p ( )S + p ( )S , (3)
s
(1)
де W s – пружна складова енергії деформації W; W p ( )S – частина роботи плас-
тичних деформацій у зоні передруйнування біля контуру тріщини, які викликані
тиском p і залежать тільки від площі тріщини S; W (2) ( )S – та їх частина, яку ге-
p
нерує тіло під час додаткового навантаження–розвантаження і яка залежить тіль-
ки від площі тріщини S; G – енергія руйнування стінки труби, що залежить від
площі тріщини S, характеристик середовища і часу t; Q – теплова енергія за руй-
нування тіла, яку вважають відносно малою, тому під час обчислень її нехтувати-
мемо; K – кінетична енергія, яка тут також незначна.
Оскільки виконується умова балансу енергій, то виконуватиметься і умова
балансу швидкостей зміни їх складових:
W
¶ A ¶ ¶G
= + . (4)
t ¶ t ¶ t¶
Підставляючи вираз (3) у формулу (4), цю умову запишемо так:
¶  (1) (2)  dS ¶G
-
 G - ( A W s W - p W - p ) - 0.= (5)
¶ S    dt t ¶
Тоді визначення залишкової довговічності труби зведемо до математичної
задачі
dS ¶G ¶  (1) (2) 
=  G - ( A W - s W - p W - p )   , (6)
S 
dt t ¶ ¶
t = 0, S (0) = S 0 ; (7)
t = * , t S ( )t * = S , (8)
*
де критичну площу тріщини S = S знаходимо за формулою
*
S = p ( ) ( ), ( )t a t * b t * h = . (9)
b
*
*
Розв’язок задачі (6)–(9) пов’язаний зі суттєвими математичними трудноща-
ми. Тому для його спрощення, не втрачаючи при цьому потрібної для інженерних
цілей точності, застосуємо метод еквівалентних площ [5], згідно з яким площа
тріщини розглядуваної конфігурації змінюватиметься наближено так само, як і
півкругової радіуса r такої ж початкової площі. При цьому вважаємо, що швид-
кість поширення півколової тріщини у всіх точках її контуру однакова. Врахову-
ючи це, математичну модель (6)–(9) запишемо так:
dr ¶G ¶  (1) (2) 
=   G - ( A W- s W- p W- p )   , (10)
dt t ¶ ¶r

- 1
(0) = p
t = 0, r S 0 ; (11)
t = * , t ( )t r * . h =
На основі відомих результатів [5] вираз у квадратних дужках рівняння (10)
подамо так:

¶  (1) (2)  ¶ W p (2)
  G - ( A W- s W - p W- p ) = g - g - , (12)
C
t
 
¶r ¶r
де g = d s -питома робота пластичних деформацій у зоні передруйнування біля
t t 0
вершини тріщини; g = d 0 s - її критичне значення; d t – розкриття у вершині
CC
C
61