Page 81 - Zmist-n4-2015

Оскільки поверхні порожнистого циліндра (r = r 0 та r = r 1) вільні від наван-
тажень, то на внутрішньому та зовнішньому його криволінійних краях маємо:
s = 0 і s = 0. На основі цього із виразу (12) одержуємо:
r r r= r r r=
0 1
2
(1+ n )(1 2 )- n a C r 1 (1+ n )r a C r 1
0
A = H ∫ C rdr , A = H ∫ C rdr . (15)
1 2 2 H 2 2 2 H
r - r 0 1- n r 0 r - r 0 1- n r 0
1
1
Водночас важливі випадки, коли деформація e z та осьове зусилля рівні нулю.
Розв’язки (11)–(15) для плоскої деформації легко використати, якщо осьове
зусилля циліндра F z = 0. Щоб сумарне осьове зусилля дорівнювало нулю, потріб-
но до його основ прикласти нормальні зусилля, розподілені згідно з формулою
(14). Однак, за принципом Сен-Венана, ці напруження змінюватимуться тільки
поблизу основ циліндра. На достатній відстані від них додаткові осьові напру-
ження ¢ будуть сталі. Нехай вони рівні А. Для вибору A потрібно враховувати
s
z
умову, за якої результуюче осьове зусилля у циліндрі рівне нулю.
Підрахуємо сумарне осьове напруження у порожнистому циліндрі, виклика-
не зміною концентрації водню на величину C H. Для цього проінтегруємо співвід-
ношення (14):
r 1 2pa E r 1 2 EAn
2
∫ s z 2 rdrp = - C H ∫ C rdr + 1 (rp 2 r- ) . (16)
1
H
0
)(1 2 ) n
r 0 1- n r 0 (1 + n -
Оскільки результуюче осьове напруження
r 1 r 1
∫
∫
2
- s ¢ 2 rdrp = - A 2 rdrp A = - (r p r 0 2 )-, (17)
z
1
r 0 r 0
то на основі виразів (16) і (17) одержуємо значення A, за якого повна осьова сила
зведеться до нуля:
2a C E r 1 2 EAn
A = H 2 ∫ C rdr - 1 . (18)
H
(1- n )(r 1 2 r - 0 ) r 0 (1+ n )(1 2 )- n
Напруження s r, s θ визначатимемо так само, як і для плоскої деформації, тоб-
то за формулами (12), (13). Проте на переміщення u впливає осьове напруження
s' z = A. Тому від правої частини рівності (11) слід відняти член νAr/E.
Записані формули відтворюють НДС у порожнистому циліндричному зраз-
ку, обумовлений концентрацією водню C H. Це дає можливість детальніше про-
аналізувати процеси наводнювання та розводнювання такого циліндра, що може
бути аналогом їх моделі у металевій трубі.
Порожнистий металевий циліндр під час наводнювання. Розглянемо по-
рожнистий циліндричний зразок в умовах плоскої деформації за постійної кон-
центрації водню C 0 на його поверхнях та нульової початкової. Якщо, починаючи
з деякого моменту t = 0, на поверхнях зразка концентрація водню C 0, то розподіл
її у будь-який момент часу t можна подати розвиненням [15]
)
¥ J (r m ) J- (r m ) C J (r m Y ( )r 2 ln( / ) ln( / )r r + r r
C = p ∑ { 0 0 n 2 0 1 n } 0 0 0 n n e - D tm n + C 0 1 0 , (19)
H
2
-
1
n= 1 J 0 (r m ) J 0 (r m ) ln( / )r r 0
1 n
0 n
де D – коефіцієнт дифузії водню; Y ( )r = J (r m ) (Y R m ) J- (R m ) (Y r m,
)
n 0 n 0 2 n 0 2 n 0 n
причому J 0(z) та Y 0(z) – функції Бесселя першого та другого роду; m n – додатні ко-
рені трансцендентного рівняння
80