Page 80 - Zmist-n4-2015

Підставимо співвідношення (6) у перші рів-
няння (5)
2
1- n  n 
e = s - s (1+ ) - n a ,
C
r  r q C H
E  1- n  H
2
1- n  n 
s
e =  s - r  (1+ ) - n a
C
q
q
C
H
E  1- n  H
і розв’яжемо їх відносно напружень s r та s θ.
Одержимо:
E  n 1 + n 
s =  e + e - C a H  ,
r r q C
1 2- n  1 - n 1 - n H 
E  n 1 + n 
s =  e + r e - C C a H  . (7)
q
q
1 2 n  1 - n 1 - n H  Рис. 2. Схема порожнистого
-
циліндричного зразка.
Напруження s r та s θ задовольняють умову
рівноваги Fig. 2. Scheme of a hollow
cylindrical sample.
ds r s - s
r
q
+ = 0 . (8)
dr r
Внаслідок симетрії поля деформацій дотичне напруження τ rθ рівне нулю. З
урахуванням рівнянь (7) вираз (8) набуде вигляду
d  n  1 2- n 1 + n dC
r  e + q + ( r e q ) - e = C ra H . (9)
e
r
dr  1- n  1 - n 1 - n H dr
Якщо позначити через u радіальне переміщення, то компоненти деформацій
du u
e = , e = . (10)
r q
dr r
Підставимо ці вирази в рівність (9) і одержимо:
d  1 ( )d ru u  1+ n dC
 - 2  = a H .
C
dr r  dr r  1- n H dr
Проінтегруємо останнє рівняння. Тоді
r
1+ n 1 A 2
u = a C H ∫ Crdr + A r + . (11)
1
1- n r r
r 0
Тут r 0 – радіус отвору у циліндрі вздовж осі Oz.
На основі співвідношень (7) та (10), беручи до уваги формулу (11), отримає-
мо такі вирази для компонент напружень:
a C E 1 r E  A A 
2
s = - H 2 ∫ C rdr +  1 - 2  , (12)
r
H
1- n r 1 + n  1 2- n r 
r 0
a C E 1 r a C EC H E  A A 
2
s = - H 2 ∫ C rdr - H +  1 - 2  . (13)
q
H

1 2- n 
1- n r r 0 1 - n 1 + n r
Також із рівняння (6) знаходимо:
a C EC H 2 EAn
s = - H + 1 . (14)
z
1- n (1 + )(1 2 )n - n
79