Page 78 - Zmist-n5-2015

}
де B = {x + x : x BÎ – область B, зміщена на точку x .
x j j j
Рис. 1. Приклади
двовимірних точкових
образів: a – випадкове
розташування;
b – з утворенням скупчень.
Fig. 1. Examples of 2-D point
patterns: a – random location;
b – clustered.

Моделювання пітингової корозії. Зазвичай моделлю для ізотропного стаці-
онарного точкового процесу слугує стаціонарний Пуассонівський точковий про-
цес. У цьому випадку вважають, що взаємодія між точками відсутня для всього
діапазону відстаней, а кількість точок у деякій області B простору є випадкова
величина, розподілена за законом Пуассона з параметром, рівним добутку інтен-
сивності l точкового процесу та площі області B. За цією моделлю точки процесу
розподілені випадково, незалежно одна від одної, ізотропно та рівномірно на
площині. Її використовують як нуль-модель для визначення існування взаємодії
між елементами процесу. Легко бачити, що тоді круг радіуса r навколо довільної
2
точки Пуассонівського процесу міститиме в середньому lpr точок процесу. Тоді
K-функція K(r) процесу набуде вигляду [13]
Poi 2
r
K ( )r = p . (2)
Отже, можемо порівняти на відповідність досліджуваного точкового проце-
су Пуассонівському. Обчисливши K(r) досліджуваного процесу, порівнюватиме-
Poi
Poi
мо її із K (r) для кожного значення r. Якщо для деякого значення r K(r) > K (r),
то це означає, що в r-околі точки процесу міститься більше точок, ніж для Пуас-
сонівського процесу. Отже, точки досліджуваного процесу мають властивість
Poi
утворювати скупчення (кластери) в межах цієї відстані. Якщо ж K(r) < K (r), то
кількість точок процесу є менша, ніж для Пуассонівського процесу, а отже, точки
розташовані в області регулярно.
Раніше подано [10] просторово-часову модель розвитку і взаємодії метаста-
більних пітингів, яка базується на однорідному Пуассонівському процесі. Харак-
терною його особливістю є стала інтенсивність, тобто відношення кількості еле-
ментів процесу до площі ділянки, на якій розташовані ці елементи. Зрозуміло, що
така властивість є ідеалізованою і рідко зустрічається в природі. Тому реалістич-
нішим вибором є неоднорідний Пуассонівський процес, характерними рисами
якого є незалежність кількості подій у незв’язних підмножинах та інтенсивність
процесу задана у вигляді деякої функції λ(x), x Î B [11, 12]. Тоді K-функція K(r)
процесу матиме вигляд
( x -
1 1 b ( 0,r ) j x i )
€
K r ∑ , (3)
( ) =
l 2 € * B i , x x Î , B i j¹ l ( )( ) x j Ç B x i
x
B
x
l
j
i
j
( ) ;x x BÎ
де l = inf{ l }. Але такий процес не дозволяє повною мірою моделюва-
*
ти саме скупчення подій, а також він зовсім ігнорує зв’язок між ними. Припуска-
ючи існування впливу окремого пітинга на сусідні чи на область матеріалу в
деякому його околі, доцільно розглянути складніші моделі випадкових процесів,
які б враховували взаємодію об’єктів процесу.
77