Page 83 - 07

 1 ( ,x y SÎ )
где ( , )A x y =  k (k = 1, 2); m – модуль сдвига материала пластины; n –
Ï
 0 ( ,x y S k )
коэффициент Пуассона; a – коэффициент линейного температурного расширения.
С учетом формул (4), (5) граничные условия задачи для напряжений на бере-
гах щели будут
0
1
0
i
s 1 i - t = -s (- s - )t на L 3 ,
y xy 0 y xy
0
0
1
)
i
s 1 y i - t p = y ip- xy - s ( - s - t на L 1 , (6)
0
y
xy
xy
1
0
0
i
(1 if p-
)
s 1 i - t = ) - s ( - s - t на L 2 .
y xy y 0 y xy
Компоненты тензора напряжений и вектора перемещений [20] выразим через две ку-
сочно-аналитические функции комплексного переменного z = x iy+ ( )zF и ( )zW
1
s 1 i - t = ( )zF + ( ) (zW z + ) z- ¢ (7)
( )zF ,
y xy
¶
( )zF ,
( )z
2m (u iv+ ) = kF - ( ) (zW z - ) z- ¢
x ¶
где κ – постоянная Мусхелишвили.
Учитывая результаты [20], на основании граничных условий (6) с учетом
формул (7) приходим к задаче линейного сопряжения граничных значений функ-
ций ( )zF и ( )zW
+ -
[ ( )tF + W ( )t ]+ F ( )t ]2 f= 0 ( )t , (8)
[ ( )t + W
+ -
[ ( )t - W
[ ( )tF - W ( )t ]- F ( )t ]0= ,
 -s ( - s - t ) на L ;
0
0
i
 0 y xy 3

0
0
) на ;L
где f 0 ( )t =  p - ip xy - s ( - s i- t 1 .
y
xy
y
0

0
0
 (1 if p - s - s - t 2 .
i
-
) на L
)
(

xy
y
0
y
Решение задачи (8) в классе всюду ограниченных функций запишем в виде
(z a- )(z b- ) b f ( )t dt
F ( )z = W ( )z = ∫ 0 . (9)
2 i p (z a- )(z b- )(t - ) z
a
При z ® ¥ X ( )z = (z a- )(z b- ) = (1 )z . Корень под знаком интеграла
z O+
представляет собой значение ветви соответствующей функции, выделяемой при-
веденным условием на верхнем берегу щели.
Для определения l и l имеем два соотношения, являющиеся условиями
2
1
разрешимости краевой задачи (8) в классе всюду ограниченных функций [20]
b f ( )t dt b tf ( )t dt
∫ 0 + = 0 , ∫ 0 + = 0 . (10)
a X ( )t a X ( )t
В соотношения (9) и (10) входят неизвестные контактные напряжения p y(x), p xy(x).
Используя вторую формулу (7) и граничные значения функций ( )zF , ( )zW ,
получим на отрезке a £ x b£ следующее равенство
2m 
+ - ¶ + - ¶ + - 
F ( )x - F ( )x =  (u u - ) i+ (v v- ) . (11)


1+ k ¶ x ¶ 
x
Используя формулы Сохоцкого–Племеля [20], с учетом формулы (9) находим:
89