Page 78 - 07

CB - r 1 CB l 2 r+ - r 2 lr +
U = - lim ∫ dx = - lim ln . (27)
2 r® 0 l - x x - 2 r® 0 2
- R l 2 R+ - R + lR
Для остаточного підрахунку енергії тіла з дислокаційною тріщиною прийма-
ємо, що l – фіксована величина, та спрямовуємо r → 0. Вважаючи r < l і R > l та
розкладаючи підлогарифмічні функції у виразі (27) в ряди Тейлора [8], одержуємо:
2
m B   R  
( )ln+
U »  2ln 2   . (28)
4 (1p - n   l 
)
Встановлення геометричних розмірів дислокаційної тріщини. За присут-
ності півнескінченної вставки на її продовженні утворюються вільні поверхні
(див. рис. 2). На це потрібно затратити певну роботу, а саме:
F = 2 lg, (29)
де γ – поверхнева енергія. Довжину l визначимо з балансового рівняння
¶ U F ¶
+ = 0 . (30)
l ¶ l ¶
Тоді на основі (28) та (29) з рівняння (30) одержуємо співвідношення для
визначення l d – довжини дислокаційної тріщини:
m B 2 EB 2
l = = . (31)
d
2
p
)
8 (1 - n g 16 (1p - n g
)
Зображено (рис. 3) графічні залежності поверхневої енергії тріщини F, енергії
пружної деформації U та повної енергії F + U від довжини дислокаційної тріщи-
11 2 –10
ни l для E = 2·10 Pа, γ = 0,01Ea = 0,6 J/m , ν = 0,3; параметра ґратки a = 3·10 m,
модуля вектора Бюргерса B = a.
Як бачимо (рис. 3), дислокаційна тріщина є рівноважна. Її довжина прямо-
пропорційна модулям зсуву, Юнґа, квадрату довжини вектора Бюргерса і оберне-
нопропорційна до поверхневої енергії матеріалу. Аналогічний висновок зроблено
раніше [1, 5].
На основі формули (3), явного вигляду потенціалів (25) та з врахуванням то-
го, що υ(0) = 0,5B, переміщення берега дислокаційної тріщини запишемо так:
B 2x l- B
u ( )x = - arcsin + . (32)
2p l 4

Рис. 3. Залежність енергетичних складових
дислокаційної тріщини від її довжини l:
1 – поверхнева енергія тріщини F;
2 – енергія пружної деформації U;
3 – повна енергія F + U.
Fig. 3. Dependence of the energy components
of a dislocation crack on its length l:
1 – crack surface energy F; 2 – elastic strain
energy U; 3 – total energy F + U.

Розрахунок одиничного об’єму ядра-тріщини призводить до результату:
3
EB
V = 2 . (33)
)
32 (1p - n g
11
Приклад розрахунку форми контуру ядра. Нехай E = 2×10 Pа, γ = 0,01Ea =
2 –10
= 0,6 J/m , ν = 0,3; a = 3×10 m. Якщо довжина вектора Бюргерса рівна B = a, 2a та
3a, то на основі співвідношення (31) отримаємо такі значення довжини дислока-
84