Page 82 - 07

Модель контакта с трением и сцеплением впервые рассмотрена Л. А. Гали-
ным [9]. Обзор работ по контактному взаимодействию берегов трещин содержит-
ся в монографиях [10, 11]. Исследованы тела с трещинами с учетом сил сцепле-
ния между берегами и возможности их контакта [12–19].
Напряженное состояние в плоскости с щелью ищем в виде
1
0
1
0
1
0
s = s + s, s = s + s, t xy = t + t, (4)
xy
xy
x
x
y
y
x
y
0
1
0
0
где s , s , t – решение задачи термоупругости для плоскости без щели; s ,
x
xy
y
x
1
1
s , t – компоненты тензора напряжений в плоскости с щелью под действием
xy
y
нагрузок, приложенных только на поверхности щели.
0 0 0
Для определения s , s , t решаем задачу термоупругости для сплошной
x
xy
y
плоскости. Для этого вначале решаем задачу теории теплопроводности
¶ T  T 0 ( ,x y SÎ )
= a TD , T =  при t = ,
0
t ¶  0 ( ,x y SÏ )
где ∆ – оператор Лапласа; a – коэффициент температуропроводности материала.
При определении температурного поля для упрощения задачи не учитыва-
ется возмущение температурного поля из-за наличия щели переменной толщины.
Пусть для определенности нагретая тепловым источником область S = S 1 + S 2
представляет собой совокупность двух прямоугольников. После решения задачи
термоупругости методом термоупругого потенциала перемещений имеем:
2 2
y ∑
0
0
=
s = s , t 0 xy ∑ 0 t , (5)
xy
y
k 1 = k k 1 =
) Ta 
+
0 m (1 + n 0  4   y b- k y 
k
s y = -  4 A p ( , )x y +  arctg   +
-
k
4 p   p   x L + x k 
k
y 
 y + b - y   y b + -  y b- y 
+
+ arctg  k k  + arctg  k k  + arctg  k k  -
 x + L - x   x L- k x + k   x k L+ k x- 
k
k
t 1   (x L- + x )   (x L + ) x - 2  
2
k
x +
-
- ∫  ( x L k x + k ) exp  - k k   ( k L + x- ) exp  - k    ´
k
0 t a t    4at   4a t  
  y b + y   y b + - 
y  

-
´  Erf  k k  + Erf  k k   d t  ;
  2 at   2 a t   

m (1 + n a  (x - k L - ) 2 (y b- y k ) + 2
) T
x
+
k
k
0
0
t xy = -  ln +
k 2p   (x - x - L k ) 2 + y k b- ) 2
(y -
k
k
2
2 2 t   ) 
y
(x L- k + x k ) + (y - k b- k ) 1 (x L- x+
k
k
-
+ ln 2 2 ∫  exp  -   -
t
-
(x L + x k ) + (y b - k y + k ) 0    4a t 
k
 (x + L - ) x 2    (y b- y + )   (y b+ ) y - 2   

2


exp
t
- exp - k k     exp  - k k   -  - k k    d  ,

 
 4at    4a t   4a t   

88