Page 36 - Zmist-n3-2015-new

Підставивши вирази (7) у співвідношення (5), одержимо лінійне диференці-
альне рівняння з частковими похідними відносно запровадженої функції J
n p- 1 m- 1
( )l
DJ = - ∑ [ ∑ F ( )y ' d (x x- ) S+ (h ) x- ∑ ( )k F ( )]y q S- (h x ).- (8)
j - l - j 0 -
j= 1 l = 1 k 1 =
( )*j
(y
(t
Тут F ( )k ( ) (y = t ( jh± ) t - ( jh± ) )[ l (t ( jh± ) ) - l ( jh± ) )] ¢ d y- );
j k 1 + k 0 k + 1 j k 1 + - k
1)
( )l ( j- 1) ( j - 1) ( j - ( )j ( )j ( )j
F ( ) (y = t t - ) l (t )S (y - ) (t- t- ) (tl )S (y y- );
y
j l+ 1 l j l 1 + + j 1 - l 1 + l j l 1+ + j
2
¶ 2 ¶
D = + - оператор Лапласа в декартовій прямокутній системі координат;
x ¶ 2 y ¶ 2
dS ± ( )z
d ± ( )z = – асиметричні дельта-функції Дірака [7].
dz
Застосувавши інтегральне перетворення Фур’є за координатою х до рівняння
(8) та умов (6), отримаємо звичайне диференціальне рівняння зі сталими коефіці-
єнтами
2  n m- 1 p- 1 
d J 2 1  2sin hx ( )k - i xx ( )l 2q 0

2 - x J = ∑ [ ∑ F ( )y i- x ∑ e l j F ( )]y - sin h x (9)
j
dy 2p   j= 1 x k 1 = l 1 = x 
і крайові умови
dJ d J
= = 0, (10)
dy dy
y= 0 y y= n
¥
1 i xx
dx – трансформанта функції ( , )x yJ
де J = ∫ e J ; x – параметр інтеграль-
2p
-¥
ного перетворення Фур’є; i = - – уявна одиниця.
1
Розв’язавши задачу (9), (10), а після цього застосувавши обернене інтеграль-
не перетворення Фур’є до її розв’язку, одержимо вираз для функції J
¥ n m- 1
1 1 ( )j * ( )j * ch yx ( )j *
J = ∫ {cos x x∑ [2sin h x ∑ (ch (y x y - )S - (y y- + sh (y x y - )) ´
n
k
k
k
p x sh y x
0 j= 1 k 1 = n
±
±
±
( jh ) ( jh ) ( jh ) ( jh ± ) ch y x ( ) j *
´ (t t - )( l (t ) - l )) + sh (y x y - )) +
(t
k 1 + k 0 k + 1 j k 1 + n k
sh y x n
p- 1 ch yx
+∑ sin (x + x l )(((1 ch (y x y - j- 1 ))S + (y y - ) + sh (yx n -
x
-
j-
1
l= 1 sh yx n
1)
( j-
- y j- 1 ))(t l+ 1 1) t - l ( j - 1) ) l (t ( j - ) ((1 ch (y- - x y- ))S + (y y j ) - +
j
j l
1 +
ch yx ( )j ( )j ( )j 2q
+ sh (yx n y - j ))(t l+ 1 t - l ) l 1 + ))] + 0 sin h } .dx x (11)
(t
j l
sh yx n x 2
Підставивши вирази температурної залежності коефіцієнта теплопровідності
матеріалів для кожного зі шарів пластини та включення у співвідношення (3),
(11), після деяких перетворень отримаємо систему нелінійних рівнянь для визна-
( jh± ) ( )j
чення невідомих апроксимаційних значень температури t (k = 1, )m та t
k l
(l = 1, )p . Шукане температурне поле для наведеної системи визначаємо за допо-
могою отриманого нелінійного рівняння з використанням співвідношень (3), (11)
35