Page 34 - Zmist-n3-2015-new

рідне наскрізне теплоактивне включення. За лінійної залежності коефіцієнта теп-
лопровідності від температури для одношарової пластини з включенням викона-
но числовий аналіз.
Об’єкт дослідження. Математична модель. Розглянемо ізотропну шарува-
ту безмежну пластину товщиною 2d з теплоізольованими лицевими поверхнями
z = d, яка складається із n різнорідних шарів, що відрізняються геометричними
(шириною) та теплофізичними (коефіцієнтом теплопровідноcті) параметрами,
віднесену до декартової прямокутної системи координат ( , , )x y z із початком на
одній з її межових поверхонь (рис. 1). Пластина містить наскрізне включення [5],
в області W = { ( , , ) :x y z x £ h , 0 £ y £ n , z £ } d якого діють рівномірно розподі-
y
0
лені внутрішні джерела тепла з потужністю q = const . На поверхнях шарів K =
0
j
= { ( ,x y j , ):z x < ¥ } ( jd 1,n= 1)- та включення K = { ( h± , , ):0y z y £ £ n , z £ } d
, z £
y
±
виконується ідеальний тепловий контакт, а на межових поверхнях
K = { ( ,0, ):x z x < ¥ , z £ } d, K = { ( ,x y n , ):z x < ¥ , z £ } d пластини задано кра-
n
0
йові умови другого роду. У наведеній структурі потрібно визначити розподіл
температури ( , )t x y за просторовими координатами.

Рис. 1. Переріз ізотропної багатошарової
безмежної пластини з чужорідним
наскрізним теплоактивним включенням
площиною z = 0.
Fig. 1. Cross-section of an isotropic
multilayer infinite plate with a foreign
thermo-active through-plane inclusion z = 0.

Розподіл стаціонарного температурного поля ( , )t x y в розглядуваній системі
отримуємо, розв’язавши нелінійне рівняння теплопровідності [5, 6]
¶  t ¶  ¶ t  ¶
q S
( , , )x y t
 l ( , , )x y t  +  l  = - (h ) x - (1)
0 -
x ¶  x ¶  y ¶  y ¶

з крайовими умовами
t ¶ t ¶ t¶
t = 0, = = 0, = (2)
x ®¥ x ¶ x ®¥ y ¶ y= 0 y¶ y y= n
n
де ( , , )x y tl = ∑ { l j ( ) [t + 0 ( )t l - j ( )]t Sl - (h x- j 1 - ) коефіцієнт теплопро-
-
)} ( ,N y y
j= 1
відності неоднорідної пластини; l j ( ),t l 0 ( )t -коефіцієнти теплопровідності
матеріалів j-го шару пластини та включення, відповідно; y = ; N ( ,y y j- 1 ) =
0
0
 1, z 0 >

y
= S + (y - y j 1 - ) S- + (y - ; S ± ( )z =  0,5 0,5, z =∓ 0 – асиметричні одиничні
)
j

 0, z 0 <
функції [7].
33