Page 35 - Zmist-n3-2015-new

Запровадимо функцію
n t ( , )x y t ( , )x y
J =∑ ∫ l ( )d Nz z ( ,y y ) S+ (h x- ) [ N ( ,y y 1 - ∫ ( ( )l z ( ))d- l z z -
)
{
j j- 1 - j 0 j
j= 1 0 ( t ± h , )y
t ( ,x y j- 1 ) t ( ,x y j )
∫
( ))d Sz
- ∫ ( l 0 ( )z - l z (y y - 1 - ) + ( 0 ( )l z j ( ))d S- l z (y z y j )] - -
+
+
j
j
( t ± , h y j- 1 ) ( t ± , h y j )
t ( ,x y j- 1 ) t ( , )x y i
(y
- ∫ l j ( )d Sz z + (y y- j 1 - ) + ∫ j ( )d Sl z z y j )},- (3)
+
0 0
продиференціювавши яку за змінними x та y, отримаємо:
t ¶ ¶J t¶ ¶J
l ( , , )x y t = + F ( , ),x y ( , , )x y tl = + F (4)
( , ),x y
2
1
x ¶ x ¶ y¶ y¶
де
n t ¶ t ¶
( )t
F 1 ( , )x y = ∑ [( l j ( )t ) S + (y - y j 1 - ) (- l ) S + (y y- j )],
j
j= 1 x ¶ y y j- 1 x ¶ y y = j
=

n t ¶
F 2 ( , )x y = S - (h - ∑ [( l ( )t - j ( ))t l ] N ( ,y y j- 1 ).
) x
0
j= 1 y ¶ x h
=
Із урахуванням виразів (4) вихідне рівняння (1) набуде такого вигляду:
2
¶ J ¶ ¶
).
x
q S
2 + [ F 1 ( , )]x y + [ F 2 ( , )]x y = - 0 - (h - (5)
y ¶ x ¶ y ¶
Крайові умови з використанням співвідношення (3) запишемо так:
¶J ¶J ¶J
J = 0, = = 0. = (6)
x ®¥ x ¶ x ®¥ y ¶ y= 0 y¶ y y= n
Запроваджена функція J (3) дала змогу звести нелінійне рівняння теплопро-
відності (1) до частково лінеаризованого рівняння з розривними коефіцієнтами
(5). Водночас крайові умови (2) залишаються лінійними у вигляді (6).
Знаходження аналітично-числового розв’язку. Апроксимуємо функції
( t ± h , ), ( ,y t x y j ) виразами
m- 1
( t ± h , )y = t ( jh± ) + ∑ (t ( jh± ) t - ( jh± ) )S (y y - ( )*j ),
1 k 1 + k - k
k 1 =
p- 1
x
( ,t x y j ) t= 1 ( )j +∑ (t ( )j 1 t - l ( )j )S - (x - (7)
),
l
l+
l= 1
( )*j ( )*j ( )*j ( )*j
де y є ] y ; y [; y £ y £ ... £ y ; x є ] x- ; [\[x h - ; ];h x > 0;
k j- 1 j 1 2 m- 1 l * * *
x £ x £ ...x p- 1 ; , m p – кількість розбиттів інтервалів ] y j- 1 ; y j [ та
1
2
] x- * ; [\[x * h - ; ]h , відповідно; t ( jh± ) (k = 1, ),m t l ( )j (l = 1, )p – невідомі апрокси-
k
маційні значення температури; x – значення координати, в якій температура
*
практично дорівнює нулеві (знаходять з відповідної лінійної крайової задачі).
34