Page 59 - Zmist-n3-2015-new

¥
Підставляючи цей вираз для q у формулу (7), отримаємо:
a
q
∫ S h n ( )x dx = . (9)
1
1
- a
Умова (9) є рівнянням глобального балансу теплоти у системі й означає, що все
породжене джерелом тепло стікає через поверхні тріщини. А із залежності (8)
випливає, що стаціонарний режим теплопровідності у попередньо розбалансова-
ній системі “джерело тепла–тріщина” може встановитися лише тоді, коли темпе-
ратура середовища у віддаленій точці набуде заданого формулою (8) значення
¥
q , унаслідок чого система збалансується. Причому неналежну залежність від
одиниць вимірювання у співвідношенні (7), коли температура середовища не за-
довольняє умову (8), слід трактувати як відсутність передбаченого формулюван-
ням задачі стаціонарного режиму теплопровідності.
У задачах суто теплопровідності, де за потреби визначають лише теплові по-
токи, температуру середовища можна встановлювати із точністю до довільної
сталої, бо це не матиме впливу на ці потоки. Тому під час розв’язування задач
¥
теплопровідності не зважають на сталу q , задовольняючи лише умову (9). Проте
у задачах термопружності чи термоелектропружності це призводить до істотних
помилок в обчисленні коефіцієнтів інтенсивності напружень та електричних
зміщень (КІНЕЗ) для тріщин чи інших дефектів. Наприклад, розв’язок задачі теп-
лопровідності середовища із тонким абсолютно теплопровідним включенням теж
описується рівнянням (1). Проте для виконання умови (9) необхідно, щоб вклю-
чення було і стоком тепла. Інакше розв’язок задачі хоч і буде математично ко-
ректним, проте фізично температура включення матиме невластиву розмірність.
Тобто у задачах термопружності та термоелектропружності слід обов’язково за-
довольняти умови балансу тепла, щоб отриманий математично правильний роз-
в’язок був фізично коректним.
Відтак, з урахуванням фізичних принципів, які задаються рівняннями (8),
(9), остаточний розв’язок поставленої задачі набуде вигляду
2
q l 1 -
S h n ( )x 1 = . (10)
( p l - x 1 / )a a 2 x - 1 2
Ввівши узагальнений коефіцієнт інтенсивності теплових потоків залежністю [15]

s p
K = - lim h S ( )s , (11)
h 2 n
s® 0 2
де s – відстань до вершини неоднорідності, на основі виразу (10) отримаємо:

K ± = K ( a± ) = - q l 1 ± . (12)
h 2 h 2
2 p a l∓ 1
Перейдемо до розв’язування інтегрального рівняння (2). Після інтегрування
частинами зведемо його до сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші:
a
( )x
1 Du ɶ ¢ 1 - 1 * ¥
)
∫ dx = 2L Im(γ ɶ 2 )( q - q . (13)
c
1
p x - x
- a 1 0
При отриманні рівняння (13) враховано умову нерозривності переміщень та
електричного потенціалу у вершинах тріщини
a
Du ɶ ( a - ) = Du ɶ ( )a =0 , ∫ Du ɶ ¢ 1 1 ( )a - Du ɶ ( a- 0 =. (14)
)
( )x dx = Du ɶ
- a
Розв’язок рівняння (13) за умов (14) має вигляд [14]
58