Page 57 - Zmist-n3-2015-new

ла чи стоку тепла, а також з’ясувати умови математичної та фізичної коректності
поставлених задач з огляду на можливість використання таких розв’язків у ролі
функцій Ґріна. Нижче на основі загальних інтегральних рівнянь [10, 11] термо-
електропружності анізотропних тіл побудовано компактний аналітичний розв’я-
зок задачі про дію зосередженого джерела тепла в термоелектропружному сере-
довищі з тріщиною, береги якої мають сталу температуру, проаналізовано умови
забезпечення його фізичної коректності, а також здійснено числовий аналіз отри-
маних результатів.
Формулювання задачі. Розглянемо стаціонарні узагальнені плоске темпе-
ратурне поле та плоску деформацію анізотропного термоелектропружного сере-
довища, що містить прямолінійну (тунельну) тріщину завдовжки 2а, береги якої
мають сталу температуру q c. Тепловий потік, напруження та електричні зміщен-
ня заникають на безмежності ( ( )h z z®¥ = 0 , s ij ( )z z®¥ = 0 , D i ( )z z®¥ = 0 ). Бе-
i
реги тріщини вільні від механічних зусиль та поверхневих електричних зарядів, а
сама тріщина непроникна для електричного поля. На продовженні тріщини на
відстані d від її вершини діє зосереджене (лінійне рівномірно розподілене в нап-
рямку фронту тріщини) джерело тепла інтенсивності q.
Пов’яжемо з центром тріщини де-
картову систему координат Ox 1x 2x 3,
вісь Ox 3 якої спрямуємо паралельно до
фронту тунельної тріщини (перпенди-
кулярно до площини рисунку), а вісь
Ox 1 – уздовж осі симетрії задачі (через
пряму розподілу джерел тепла). Таким
чином, сформульовану задачу зведемо
до вивчення двовимірних фізико-меха-
Рис. 1. Схема задачі.
нічних полів у площині Ox 1x 2 із мате-
Fig. 1. The scheme of the problem.
матичним розрізом (рис. 1).
Тоді загальні інтегральні рівняння теплопровідності та термоелектропруж-
ності анізотропних тіл [10, 11] можна звести до такого вигляду:
a
(
∫ ln | x - x 0 | hS n ( )x dx = q ln al - 0 2 k+ p c q ¥ ) - q; (1)
x
1
1
t
1
- a
1 a Du ɶ ( )x 1 - 1 * ¥
∫ dx = 2L Im(γ ɶ 2 )( q - q . (2)
)
c
1
p (x - x ) 2
- a 1 0
+ - + -
( )
Тут ( ) ( )S × = × ( )+ ×, ( )D × = × ( )- ×; h = h n ; h (i = 1,2,3) – компоненти векто-
i
i i
n
ра теплового потоку; n i – компоненти одиничного вектора зовнішньої нормалі
(знаками “+” та “–” позначено величини, що стосуються верхнього і нижнього
берегів тріщини відповідно); l = 1+d/a – безрозмірний параметр розташування
джерела тепла; u ɶ – розширений вектор переміщень та електричного потенціалу
із компонентами u = та u = f, де u i – компоненти вектора переміщення у нап-
u
ɶ
ɶ
4
i
i
рямку відповідних осей координат; f – потенціал стаціонарного електричного
2
поля; k = k k k - 12 , а k ij – коефіцієнти теплопровідності матеріалу у відпо-
t
11 22
відних напрямах; L, S – дійсні тензори Барнет–Лоте (Barnett–Lothe) [12], котрі ви-
T
значаються лише електропружними властивостями матеріалу; γ ɶ * = –Lc + (S –iI)d
2
– комплексний вектор [13], який обчислюють із використанням термоелектро-
¥
пружних сталих векторів c, d формалізму Стро [10, 12, 13]; q – температура на
56