Page 60 - Zmist-n3-2015-new

2
¥
Du ɶ ( )x = -L - 1 Im(γ ɶ * 2 )( q - q 2 x-. (15)
) a
2
c
1
-
*
¥
Оскільки матриця L , вектор γ ɶ та величини q і q сталі, то формула (15)
c
2
гарантує знакосталість розкриття тріщини.
ɶ
K
Вектор k (1) = [ II ,K K III ,K D T ] КІНЕЗ K , K , K III , K IV º K для тріщи-
,
I
I
II
D
ни введемо залежністю [10]
k ɶ (1) = lim p L ×Du ɶ ( )s , (16)
s® 0 8s
де s – відстань до вершини тріщини. Підставивши вираз (15) у залежність (16),
отримаємо:
¥
k ɶ (1) = - Im(γ ɶ * )( q - q ) ap. (17)
2 c
Звідси випливає, що в обох вершинах КІНЕЗ є однаковими, незважаючи на неси-
метричність геометрії задачі, оскільки її компенсує несиметричність розподілу
(10) теплового потоку на берегах тріщини від стікання тепла всередину неї.
Підставивши вираз (8) у формулу (17) для тріщини за дії зосередженого дже-
рела тепла на її продовженні, остаточно отримаємо таку компактну залежність:

2
ɶ

k (1) = q ln l + l 1 Im(-   γ ɶ * 2 ) ap . (18)
2 k p t  
Зокрема, для ізотропного матеріалу, коли [13]
Ea T
*
γ ɶ 2 = [ 1; ;0;0- i ] , (19)
)
2(1- n
єдиною ненульовою складовою КІНЕЗ є КІН типу I нормального відриву:
qEa  2 

K = ln l + l 1-  ap . (20)
I
4(1- n ) kp t  
Тут E , n – модуль пружності та коефіцієнт Пуассона; a – коефіцієнт теплового
розширення матеріалу.
Для ортотропних (трансверсально-ізотропних) піроелектриків тетрагональ-
ного, тригонального та гексагонального класів симетрії, таких, як титанат барію,
селенід кадмію, PZT тощо, ненульовим КІНЕЗ, окрім K I, буде ще й K D, на що
*
вказує структура вектора γ ɶ .
2
Важливо, що коефіцієнти інтенсивності теплових потоків (12) та КІНЕЗ (18)
тріщини явно не залежать від температури q c її берегів. Це пов’язано з тим, що
для встановлення режиму стаціонарної теплопровідності у системі “джерело теп-
ла–тріщина” необхідно, щоб середовище набуло у віддалених точках окресленої
¥
формулою (8) температури q . І хоча, згідно з формулою (17), КІНЕЗ залежать
від різниці цих двох температур, однак у стаціонарному режимі теплопровідності
¥
q визначає лише інтенсивність джерела тепла та його відстань до тріщини.
Числовий аналіз задачі. Абсолютні значення коефіцієнтів інтенсивності
+ - q
визначимо через безрозмірні величини K , K , K так:
0
0
0
q
q
qK
±
a
K h ± 2 = - K , k ɶ (1) = 0 Im(γ ɶ * 2 ) p . (21)
0
2 p a 2 kp t
Тоді обчислення залежності безрозмірних нормованих коефіцієнтів інтенсивності
теплових потоків, напружень та електричних зміщень від відстані джерела тепла
+
до середини тріщини засвідчує, що безрозмірний коефіцієнт K інтенсивності
0
теплового потоку у правій вершині тріщини має вертикальну асимптоту для l = 1
59