Page 58 - Zmist-n3-2015-new

нескінченності. Оскільки у вирази (1) і (2) входить лише різниця температур
¥
q c–q , то відлікова температура середовища не впливатиме на розв’язок задачі.
Інтеграл у рівнянні (2) обчислюють в сенсі скінченної частини за Адамаром (Ha-
damard finite part).
Перед розв’язуванням задачі доцільно звернути увагу на три важливі речі.
По-перше, рівняння (1) та (2) можна без будь-яких застережень використовувати
як для аналізу анізотропних, так і ізотропних матеріалів, оскільки тензори L, S та
*
вектор γ ɶ не вироджуються за відповідної зміни характеристик матеріалу на від-
2
міну від констант формалізму Стро [10, 12, 13] чи аналогічних величин у підхо-
дах на основі комплексних потенціалів типу Лехніцького [7, 8]. По-друге, як ви-
явиться нижче, термопружне розкриття тріщини та стрибок електричного потен-
ціалу на ній у сформульованій задачі залежать лише від різниці заданої темпера-
¥
тури q c поверхні тріщини і температури q , зумовленої дією зосередженого дже-
рела тепла. Це пов’язано з тим, що термоелектропружні члени загальних інте-
гральних рівнянь [10, 11] для розглянутої задачі мають таку ж структуру, як і в
рівняння (1). По-третє, для задачі теплопровідності (1) у вигляді сингулярного ін-
тегрального рівняння з ядром Коші (яке можна отримати шляхом безпосередньо-
го диференціювання рівняння (1)) під час його розв’язування не вдається знайти
¥
константи q , визначальної для коректності формулювання та розв’язування рів-
няння (2) задачі термоелектропружності.
Розв’язування задачі. Розв’язок інтегрального рівняння Карлемана
a
∫ ln | x - x 0 | ( )f x dx = g ( )x 0 (3)
- a
має вигляд [14]
 a 2 2 a 
( )t
1 g¢ a - t
f ( )x = 2   ∫ dt + p ∫ f ( )x dx , (4)
2
p 2 a - x  - a t - x a -  
причому виконується умова
a 1 a g ( )x
∫ f ( ) x dx = ∫ dx . (5)
a
2
- a p ln( / 2) - a a - x 2
Перший інтеграл рівняння (4) слід обчислювати в сенсі головного значення Коші.
Отже, на основі співвідношень (3)–(5) розв’язок рівняння (1) набуде такого
вигляду:
 2 a 
1 a l 1 -
S h x q  q - + ∫ h xS ( )dx  ; (6)
( ) =
n 1 2  n 1 1 
2
p a - x 1  al - x 1 - a 
a 1    ¥ 
2
∫ S h n ( )x dx = +  q ln  l + l 1-  2 k+ t (p c q )- q. (7)
q

1
1
- a ln( / 2)a    
Із рівнянь (6) та (7) видно, що за довільно заданих значень температури q c
¥
берегів тріщини та усталеної на нескінченності температури q розмірність роз-
в’язку задачі не узгоджена через наявність у виразах логарифма довжини а трі-
¥
щини, що суперечить принципу автомодельності. Тому температура q не може
бути довільною і її слід визначати за умови, що у формулі (7) величина у квад-
ратних дужках дорівнює нулю, тобто
 2 

1
q ln l + l - 
¥
q = q +   . (8)
c
2 k
p
t
57