Page 75 - 07

ються. Потрібно встановити у кристалі форму поверхні дислокаційної тріщини та
її довжину, напруження в тілі, компоненти вектора переміщень, об’єм порожни-
ни та енергію кристала з таким тріщиноподібним дефектом.

Рис. 1. Схема зародження тріщини в моделі Зінера–Стро (а)
та дислокаційна тріщина [1, 5] (b).
Fig. 1. Crack initiation in the Zener–Stroh model (a) and a dislocation crack [1, 5] (b) (schematically).

Математичне формулювання задачі. Змоделюємо дислокаційну тріщину
довжини l півнескінченним дефектом, тобто вставленою атомною півплощиною
та порожниною на її продовженні. Зв’яжемо тріщиноподібний дефект із прямо-
кутною системою координат xOy, причому вісь Ox сумістимо з його віссю симет-
рії, а центр O – з кінцевим атомом вставленої атомної півплощини (рис. 2).

Рис. 2. Схема дислокаційної тріщини: І – вставлена атомна півплощина.
Fig. 2. Dislocation crack: І – inserted nuclear half-plane (schematically).

Вважаємо, що уздовж дефекту, де вставлена атомна півплощина, тобто для
+ –
xÎ(–∞, 0] задані переміщення υ = –υ = B/2 відповідно на її верхньому і нижньо-
му берегах, а на берегах тріщини – нульові напруження, оскільки її поверхня
вільна.
Комплексні потенціали для півнескінченного дефекту. Для встановлення
НДС тіла з дислокаційною тріщиною використовуємо співвідношення Колосова–
Мусхелішвілі:
2[ ( )zF
s + s = + ( )]zF , (1)
x
y
( )zF ,
s y i - t = ( )zF + ( ) (zW z + ) z- ¢ (2)
xy
)¢
m
F
( )z
i
2 (u¢ + u = cF - ( ) (zW z - ) z- ( )z¢ , (3)
де z = x + iy; u' = ∂u/∂x, υ' = ∂υ/∂x.
Комплексні потенціали Φ(z), Ω(z) для півнескінченного тріщиноподібного
дефекту такі [7, 8]:
l * l *
1 l tF- ( , )tr 1 G ( , )tr
F ( )z = ∫ dt + * ∫ dt , (4)
4pr * z l- t - z 4 pr t - z
i
-¥ -¥
81