Page 76 - 07

*
1 l l tF- ( , )tr * 1 l G ( , )tr
W ( )z = - ∫ dt + ∫ dt , (5)
4p z l- t - z 4 ip t - z
-¥ -¥
*
*
*
r + r * ( i r -r l l tF- ( , )tr
)
, ]l
(
G ( , )xr = G ( , )xr - ∫ dt , x Î -¥. (6)
2r * 2 pr * l - -¥ t - x
x
Тут уведені функції [7]:
 { 2 ( ), 2 ( ) ,q x- - p x } r = 1,-
*

{ * *
=
G ( , ), ( , )x Fr r x }  * (7)
;
¢
  { 2 ( ), 2 ( ) ,g x f x ¢ } r = c
±
s ± ( ,0)x i - t ( ,0)x p = ( )x q± ( )x , (8)
y xy
d ± ±
( )x
2m (u ( ,0)x i + u ( ,0))x = f ¢ g ± ( )x ¢ , (9)
dx
де s ± ( ,0),x t ± ( ,0)x ; u ± ( ,0),x u ± ( ,0)x – компоненти напружень та вектора пере-
y xy
міщень, відповідно; p(x), q(x), f'(x), g'(x) – задані функції на відповідних ділянках
*
контуру дефекту; m – модуль зсуву; параметр ρ (ρ) набуває значення χ (–1) за на-
явності у кристалічному тілі атомної півплощини та –1 (χ) для тріщиноподібного
дефекту. При цьому χ = 3 – 4ν – для плоскої деформації і χ = (3 – ν)/(1 + ν) – для
плоского напруженого стану, де ν – коефіцієнт Пуассона.
Моделювання дислокаційної тріщини. Приймаємо, що на берегах встав-
леної атомної півплощини (рис. 2) виконуються крайові умови
u + ( )x - u - ( )x B = , xÎ (-¥ ,0], (10)
тобто на ділянці xÎ(–∞, 0] задано стрибок переміщень. Виконання умови (10) на
xÎ(–∞, 0] можемо реалізувати, вказавши на цій ділянці деякі (поки що невідомі)
нормальні зусилля
±
s y ( )x = p ( )x , xÎ (-¥ ,0] (11)
та нульові дотичні напруження
±
t xy 0 = , xÎ (-¥ ,0]. (12)
На ділянці xÎ(0,l] поверхня вільна від навантажень, а тому
± ±
s y ( ) 0x = та t xy 0 = , xÎ (0, ]l . (13)
Враховуючи крайові умови (10)–(13) та введені позначення (7)–(9), функції
*
*
*
G(r, x), G(r, x), F(r, x), що входять у співвідношення (4)–(6), при r = χ, r= – 1
запишемо так:
+ - + -
(
, ]l
G ( 1, ) (x- = s - s ) i- t xy )t q ( ) 0x= , º (xÎ -¥ , (14)
-
y
xy
y
 - 2 ( ),p x x ( Î -¥
,0] ,
+ - + -
+
(
F ( 1, ) (x- = s + s ) i- t xy )t  = (15)
xy
y
y
 0, xÎ (0, ] ,l
¶ + - + -
( ))x 
( )x
G ( , ) 2xc = m  u  ( )x u - ( )x ( i + u - u  2 ( )g x= ¢ , xÎ (-¥ ,0]. (16)
x ¶
За виразами (14)–(16) зі співвідношень (4)–(6) встановлюємо, що
0
1 l t p- ( )t
W ( )z = F ( )z = ∫ dt , (17)
2p z l- t - z
-¥
0
1 l t p- ( )t
G c ∫ dt , xÎ (-¥ . (18)
( , )x = -
, ]l
p l - x t - x
-¥
82