Page 77 - 07

Невідомий розподіл напружень p(x) для xÎ(–∞, 0] шукаємо з крайової умови
+ – + –
(10). Оскільки u (x) = u (x), υ (x) = –υ (x) = B/2 для xÎ(–∞, 0], то, врахувавши ці
співвідношення та вираз (16), отримаємо:
G ( , ) 0xc = , xÎ (-¥ ,0]. (19)
Зі співвідношення (18) на основі виразу (19) запишемо сингулярне інтеграль-
не рівняння для знаходження розподілу напружень p(x) на берегах вставленої
атомної півплощини:
0 l t p- ( )t
∫ dt = 0, xÎ (-¥ ,0].
-¥ t - x
З розв’язку цього рівняння невідомі напруження уздовж вставленої півплощини такі:
p ( )x = s ± ( ,0)x = C , xÎ (-¥ ,0], (20)
y
l - x x -
де С = const, яку потрібно знайти з фізичної суті задачі.
Спосіб знаходження константи С. В граничному випадку, коли l→0, спів-
відношення (20) перепишемо у вигляді
p ( )x = - C / x , xÎ (-¥ ,0]. (21)

Водночас напруження за класичної дислокації [5, 6] рівні
m B 1
s y ( ,0)x = , xÎ (-¥ ,0]. (22)
p
2 (1 - n
) x
Тому, врахувавши рівність (21) та співвідношення (22), отримаємо:
m B
C = - . (23)
)
2 (1p - n
Тоді на основі співвідношень (20) та (23) одержимо розподіл напружень p(x)
на берегах вставленої атомної півплощини:
m B 1
p ( ) х = - , xÎ (-¥ ,0]. (24)
2 (1 - n x x -
p
) l -
Враховуючи вираз (24), комплексні потенціали (17) запишемо так:
m B 1
W ( ) z = F ( ) z = . (25)
p
4 (1 - n z z l-
)
Із формул (1), (2) та (25) випливає, що напруження в околі вершин дислока-
ційної тріщини мають антисиметричний характер, тобто вони однакові за значен-
ням, але – протилежні за знаком.
В частковому випадку, спрямувавши l до 0, отримали енергію та напружен-
ня для класичної крайової дислокації [5, 6].
У формулі (25) поки що невідомою залишається довжина дислокаційної
тріщини l. Для її визначення вирахуємо енергію пружної деформації, обумовле-
ної дислокаційною півплощиною у тілі.
Енергія пружної деформації тіла з дислокаційною тріщиною. Енергію
пружної деформації U знаходимо з теореми Клапейрона [9], згідно з якою, робота
деформації за відсутності об’ємних сил рівна половині роботи зовнішніх сил A на
зініційованих ними переміщеннях
1 1 l + +
∫
U = A = ∫∫ t u ds = - y s ( ,0)x u dx , (26)
( ,0)x
i i
2 2
S -¥
де t i – поверхневі сили; u i – компоненти переміщень.
Cкориставшись рівностями (10)–(13), (24), вираз (26) перепишемо у вигляді
83