Page 107 - Zmist-n2-2015

1 w k ( )z ( )n
}
F k ( )z k = A + ∫ ds , w k ( )z = w ( ),z zÎG, (4)
k
{ k
2p z -
z
G k k
де z = Re z + m Im ; zz = Re z + m Im z , z = x + ix ; ds – елемент дуги у фізич-
1
k
k
k
k
2
ній площині z .
Граничні значення функції F k(z k) на берегах контуру Г матимуть вигляд [11]
w
( )z
iw
1
±
∫
k
F
{ k ( )z k } 0 = A ± 2d k k (z 0 0 ) ) + 2p z - z ds , (5)
k
z®z
(y
k
0k
G
де знак “+” відноситься до лівого берега розрізу, а “–” – до правого.
Підставляючи функцію (5) у крайові умови (3), приходимо до системи 3M
алгебричних та 3M інтегральних рівнянь:
3 1 3 w ( )z
)
Im ∑ c w ( ) 0z = , Re ∑ c d (y 0 ∫ k ds = N m ( z , m = 1, 3 ,
)
mk k
0
mk k
0k
k 1 = p k 1 = G z - z
k
3
N
(
.
{ ,m g - g
{ 1 , N 2 , N 3 } { cosp= - y 0 , - p sin y , 0 } 2Re- ∑ k k k , k dl } 0 )Ay (6)
k
k
0
k 1 =
Співвідношення (1) із урахуванням (4) дають на нескінченності
3
¥
¥
2
s
2Re ∑ m g , -m g ,g , m l - Al ¥ , = s , ¥ , Bs , B ¥ }
,
.
{ k k k k k k k k }k { 11 12 22 1 2
k 1 =
Звідси, беручи до уваги вирази (1), запишемо праві частини системи (6):
¥
¥
N = - p cos y - s cos y - s sin y, (7)
1 0 11 0 12 0
¥
¥
B
N = - p sin y - s cos y - s sin y, N = - B ¥ cos y - ¥ sin y.
2 0 12 0 22 0 3 1 0 2 0
У подальшому вилучимо алгебричні рівняння у системі (6). Для цього введе-
мо три дійсні функції q ( ), kz = 1, 3
k
c  11 c 12 c 13 
-
1
Rw ( )z = q ( )z, ( )w z = R q ( )z, det R ¹ , R =  c c c  ,
0
 21 22 23 
 
 c 31 c 32 c 33 
T T
q
w ( )z = w ( ),z w 3 ( )w } z, ( )q z = { 1 ( ),qz 2 ( ),qz 3 ( ) } z (8)
( ),z
{ 1
2
і систему (6) подамо в матричній формі:
∫
RG
)R
Re K ( ,z z ) ( )q z ds = Np ( 0 )z, z ÎG, ( ,K z z ) = ( ,z z - 1 , (9)
0
0
0
0
G
 d (y ) d (y ) d (y )  T
( , z z ) diag=  1 0 , 2 0 , 3 0  , (N z 0 ) = { 1 ( z ),N 2 ( z 3 ( 0 ) z }.
N
),N
G
0
0
0
 z - z 2 z - z 3 z - z
03 
01
02
1
Таким чином, граничну задачу (3) зведено до матричного сингулярного інте-
грального рівняння першого роду (9) з ядром Коші відносно дійсної вектор-функ-
ції ( )q z , яке необхідно розв’язувати разом із додатковими умовами однозначнос-
ті зміщень та магнетного потенціалу [6]
∫ q ( )dsz 0 = , n = 1,M ,
G n
що фіксують єдиний розв’язок системи (9) у класі функцій, необмежених на кін-
цях дуг G [12].
n
Асимптотика розв’язку у вершинах тріщин. Параметризуємо контури
G : z = z 0 ( 0 ) = , 1- £ b b 1£.
( )b, z = z b, ( 1) az - = , (1) bz
,
0
n
111