Page 108 - Zmist-n2-2015

Густини, що фігурують у системі (6), мають кореневі особливості [11, 12]:
W ( )b T
w ( )z = , ( )W b = W ( ),b W ( ),b W ( )b }, ( )s¢ b = ds d b. (10)
2
{ 1
3
2
s¢ -b
( ) 1b
Згідно з виразами (8), (10) вектор
Q ( )b R - 1 W ( )b T
Q
q ( )z = = , ( )Q b = { 1 ( ),Qb 2 ( ),Qb 3 ( )b }. (11)
2
2
s¢ -b s ¢ -b
( ) 1b
( ) 1b
Для дослідження головної асимптотики функцій (4) скористаємося формулами,
що описують поведінку інтегралів типу Коші в околі кінців лінії інтегрування [11]:
d
] , c =
z
F c k ( )z k = iW k ( 1)± [ (c± k z - k ) - 1/ 2 k Rec + m Imc , ¢ = z d b, (12)
k
k
k
2 2 ¢ ( 1)±
z
k
де знак “+” відповідає кінцю тріщини, c b= , а “–” – початку, с = а. Головну
асимптотику механічних напружень, магнетної напруженості та індукції отри-
маємо, підставляючи у вирази (1) формулу (12).
Коефіцієнти інтенсивності напружень та магнетної індукції. На продов-
женні тріщини по дотичній за вершину с маємо:
s - s
2
2
s = s cos y + s sin 2 y + s sin c y , t ns = s cos2 y + 22 11 sin 2 y,(13)
c
22
12
c
12
n
c
11
c
2
B = B 1 cos y + B 2 sin y, z - a = - k ( y , b - z = - k ( y ,
)
rd
rd
)
c
b
k
c
k
n
k
a
k
де y – кут додатної нормалі до лівого берега тріщини у вершині с і віссю Ox ;
c
1
r – відстань від точки тіла на дотичній до вершини с.
Враховуючи формули (12), (1), знаходимо із (13):
1 3
)
s =∓ Re ∑ g a ( y W ( 1)±, (14)
k k
c
n
k
2r s¢ k 1 =
( 1)±
1 3 1 3
t ns =∓ Re ∑ k k ( y W ( 1)±, B =∓ Re ∑ l W k ( 1)± .
b g
)
k
k
c
n
2r s¢ k 1 = 2r s¢ k 1 =
( 1)±
( 1)±
Згідно з означеннями КІН та магнетної індукції [13, 14]
K = lim 2 rp s, K = lim 2 rp t , K = lim 2 r Bp n .
ns
B
II
I
n
r® 0 r® 0 r® 0
Враховуючи рівності (8), (11), (14), отримаємо:
p
K =∓ { 1 ( 1)cos± y Q + 2 ( 1)sin± c y } , (15)
Q
I
c
s¢
( 1)±
p p
Q
Q
K =∓ { 2 ( 1)cos± y c Q - 1 ( 1)sin± c y } , K =∓ { 3 ( 1)± } .
B
II
s¢ s¢
( 1)±
( 1)±
Прямолінійна довільно орієнтована тріщина у п’єзомагнетній площині.
Якщо тріщина пряма, розв’язок сформульованої задачі можна отримати у замк-
нутому вигляді [15]. Нехай тріщина довжиною 2l нахилена до осі Ox під кутом
1
a, на її береги діє нормальний тиск р, а на нескінченності – рівномірні поля ме-
ia
le
ханічних напружень та магнетної індукції. Параметризуємо контур G: z = b ,
3
ia
la
z = b le , 0 £ a £ p, 1- £ b b 1£, z = b k ( )y, z 0k = b la k ( )y, y = a + p,
,
0
0
k
0
0
2
k = 1, 3. Тоді система інтегральних рівнянь (9) розпадеться на три незалежні
характеристичні рівняння вигляду
112