Page 106 - Zmist-n2-2015

Рис. 1. П’єзомагнетна площина, послаблена макротріщинами.

Fig. 1. A piezomagnetic plane weakened by macrocracks.
Механічні зміщення отримаємо, інтегруючи деформації:
3
{ ,u u 2 } 2Re= ∑ { 1k , p 2k } ( )zj k k , ¢ ( )z k = F k ( )z k ,
j
p
1
k
k 1 =
2
де p = (s m + s 12 ) g g- 21 k l; p 2k = (s m + s 22 / m g g- / k k k
m l, m – харак-
)
11 k
1k
k
k
22
k
12 k
теристичні числа, Imm > (k = 1, 3) , g , l – характеристики матеріалу, s –
0
k
ij
k
k
коефіцієнти деформації, g – п’єзомодулі ( ,i j = 1, 2) [5, 7].
ij
Потік вектора магнетної індукції через довільну дугу аb має вигляд
3
2Re ∑
sin y. (2)
B = B 1 cos y + B 2 sin y = k l d k ( )y F ( )z k , d k ( )y = m k cos y -
k
n
k 1 =
Згідно з розглянутою моделлю крайову задачу магнетопружності зведемо до
визначення потенціалів F k ( )z k у виразах (1) з крайових умов на повній межі ті-
ла G = G∪ n :
± ± ±
X 1n =- p cos y, X 2n =- p sin y, B n = 0 ; p = p , z ÎG ,
0
n
n
G G G
3
X 1n = s 11 cos y + s sin y 2Re= ∑ k g k dm k ( ) y k ( )zF ,
12
k
k= 1
3
X 2n = s 12 cos y + s sin y = 2Re- ∑ k dg k ( ) y k ( )zF ,
22
k
k 1 =
де X 1n , X 2n – компоненти вектора напруження, що діє на довільній дузі аb у

точці з нормаллю n , яка утворює з віссю Ox кут y (рис. 1b). Враховуючи
1
формули (2), подамо ці умови у вигляді
3
)
2Re ∑ c mk d k (y 0 )F ± (z 0k ) = f m ( z , m = 1, 3 , (3)
0
k
k 1 =
де f = - p cos y, f = - p sin y , f = 0 ; z 0k = Re z + m 0 z, z ÎG;
Im
2
0
k
0
3
0
0
1
c = m g, c 2k = -g, c 3k = l . Тут знак “+” відповідає лівому берегу G (за
n
k k
1k
k
k
прямування від початку тріщини до кінця); y – кут між нормаллю до лівого бе-
0
рега у точці z та віссю Ox . Для розв’язання крайової задачі (3) подамо функції
0
1
F k ( )z k у вигляді узагальнених інтегралів типу Коші [6]:
110