Page 127 - Zmist-n2-2015

ну температуру T * ( , )x y ; H k ( )t k = g ' ( )t k i + m ( )t e i - q k ; z = t e ia k z + k o ;
k
k
k
k
k
iq dt k
1,2) ; m
( ) 0t
e k = ; ' ( )tg k k = 0 (k = 3 3 = ; m k ( )t k , k = 1,2 – невідомі функції на
ds
k
контурах шарів L , L ; ' ( )tg k k , k = 3, N – невідомі функції на контурі L та на
3
2
1
контурах тріщин; q – кут між додатною дотичною до контуру L в точці t і
k k k
віссю O x .
k k
Задовольнивши з використанням потенціалу (5) умови спряження (1) на кон-
турах L L та крайові умови (2), (3) на контурах L , k = 3,N , одержимо систе-
,
1 2 k
му N сингулярних інтегральних рівнянь першого і другого роду відносно N не-
відомих функцій m k ( ),t k k = 1,2 і ¢ ( ),t k k = 3, N :
g
k
N
1


Im H (t )e ib n  + ∑ ∫ Ιm K ( ,t t )H ( )t dt L+ ( ,t )Ht ( )t dt  =
 n n   nk k n k k k nk k n k k k 
p
k= 1 L
k
 i b +a ) 
= -D Ιm F 0 ( h )e n   , n t LÎ , n 1,2= ;
( n
n
n
n
 
1 N

∑ ∫ Ιm K nk ( ,t t n )H k ( )t dt k + L nk ( ,t k n t )H k ( )t dt   + d d × =

k
3
k
3
n
k
k
p
k= 1 L
k
 i b +a ) 
= Ιm F h )e n + ( w h ), t LÎ , n 3,N= , (6)
(
( n
  0 n   n n n n
2
D n e ( i b +a n ) R D n e ( i b +a n )  l - l 
n
n
n
0
t
де K nk ( ,t n ) = ; L nk ( ,t n ) = ; D =  1 -  n d 1+ ;
t
k
n
k
2
( i z - h ) ih (R - h z )  l + l 
k n n 0 n k n

dt  1, n = 1,2
ib n ia 0
e n = ; d =  ; h = t e n z + ; d – символ Кронеккера.
n
n
n
3
n
n
ds
n   0, n = 3, N
У ліву частину сингулярних інтегральних рівнянь (6) додамо функціонал [10]
'
3 ∫
d = g ( )t dt ,
3 3
3
L 3
що рівний нулю через виконання умови (4) і забезпечує безумовну розв’язуваль-
ність системи рівнянь (6) для її довільної правої частини.
У класі функцій m ( )t Î H , k = 1,2 ; ¢ ( )t Î H і ¢ ( )t Î H * , k = 4, N ( H –
g
g
k k 3 3 k k
*
клас функцій, що задовольняють умови Гельдера, H – клас функцій, необмеже-
них на кінцях контурів тріщин) система інтегральних рівнянь (6) має єдиний роз-
в’язок для довільної правої її частини за виконання умов
∫ g ¢ ( )t dt k 0 = , k = 4, N ,
k
k
L k
що забезпечують неперервність температури за обходу контурів тріщин.
Інтегральні рівняння задачі термопружності. Розглянемо пружну триша-
рову кільцеву область з криволінійними тріщинами (див. рисунок), яка знахо-
диться під дією стаціонарного температурного поля ( , )T x y . Припустимо, що на
контурах спаю шарів L і L існують умови спряження (напруження неперервні,
1
2
а переміщення мають розрив)
+ -
[ ( )N t n + iT ( )t n ]= N [ ( )t n + ( )t n , ] (7)
iT
131