Page 125 - Zmist-n2-2015

Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2015. – ¹ 2. – Physicochemical Mechanics of Materials

УДК 539.3
ІНТЕГРАЛЬНІ РІВНЯННЯ ДВОВИМІРНИХ ЗАДАЧ
ТЕРМОПРУЖНОСТІ ДЛЯ ТРИШАРОВОЇ
КІЛЬЦЕВОЇ ОБЛАСТІ З ТРІЩИНАМИ

В. М. ЗЕЛЕНЯК
Національний університет “Львівська політехніка”

Двовимірні задачі стаціонарної теплопровідності і термопружності для тришарової
кільцевої області з тріщинами зведено до сингулярних інтегральних рівнянь. Побу-
довано системи інтегральних рівнянь першого та другого роду на замкнених (конту-
ри поділу шарів та зовнішня межа) і розімкнених (тріщини) контурах, коли контур
внутрішньої межі області є коло.
Ключові слова: тріщина, температурне поле, метод сингулярних інтегральних
рівнянь, коефіцієнт інтенсивності напружень, кусково-однорідні тіла.

Двовимірні задачі термопружності для кусково-однорідних тіл з тріщинами
методом сингулярних інтегральних рівнянь розглядали раніше. Зокрема, дослі-
джували термопружний стан у скінченній [1], напівскінченній [2–4] і нескінчен-
ній [5–7] плоскій області з чужорідними однокомпонентними включеннями і
криволінійними тріщинами, у пластині з круговим двокомпонентним складеним
включенням і тріщиною [8], у двошаровому кільці з тріщинами [9]. Розглянута
нижче теоретична модель для тришарового кільця з тріщинами має важливе
практичне значення для розрахунку термопружного стану в композитних мате-
ріалах за врахування різних концентраторів напружень у них. З таких матеріалів
часто виготовляють елементи конструкцій, які застосовують у будівництві, ма-
шинобудуванні та інших галузях виробництва.
Інтегральні рівняння задачі теплопровідності. Розглянемо скінченну три-
шарову кільцеву область S , в якій контур внутрішньої межі L – коло радіуса
0
R ; контур зовнішньої L – довільний гладкий криволінійний; L , L – гладкі
0
3
2
1
замкнені контури поділу різнорідних шарів. Область S послаблена системою
N - 3 криволінійних тріщин-розрізів L n (n = 4, )N . Віднесемо кожний контур
L n (n = 0, )N до локальних систем координат x O y , вісь O x яких утворює
n n n
n n
кут a з віссю Ox , а точки O n визначають в основній декартовій системі коорди-
n
0 0 0
нат xOy комплексні координати z = x + iy , причому системи x O y ,
n
n n n
n
n
( n = 0,3 ) збігаються з основною xOy з початком у центрі кола L (див. рису-
0
нок). Додатним вважаємо напрямок обходу замкнених контурів проти годинни-
кової стрілки. Зв’язок між координатами точок області S у локальній і основній
системах координат виражають співвідношення
ia 0
z = z e n z + , z = x + iy , z = x iy+ .
n
n
n
n
n
Вважаємо, що на замкнених контурах L n (n = 1,2) задані умови ідеального
теплового контакту (рівність температур і теплових потоків)

Контактна особа: В. М. ЗЕЛЕНЯК, e-mail: v.zelenyak@yandex.ua
129