Page 18 - Zmist-n3-2015-new

Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2015. – ¹ 3. – Physicochemical Mechanics of Materials

УДК 539.3
ПЛОСКА ЗАДАЧА ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ
КВАЗІОРТОТРОПНОГО ТІЛА З ТРІЩИНАМИ
1,2 1
M. П. САВРУК , А. Б. ЧОРНЕНЬКИЙ
1
Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів;
2
Білостоцька політехніка, Польща
Записано основні співвідношення плоскої задачі теорії пружності для квазіорто-
тропного тіла. Побудовано інтегральні зображення комплексних потенціалів нап-
ружень для квазіортотропної площини через стрибки переміщень на криволінійних
розімкнених контурах. Першу основну задачу для площини з тріщинами зведено до
сингулярних інтегральних рівнянь. Знайдено асимптотичний розподіл напружень
біля вершини криволінійної тріщини. Записано аналітичний розв’язок задачі для
довільно орієнтованої прямолінійної тріщини. Числово розраховано коефіцієнти
інтенсивності напружень для параболічної тріщини та досліджено вплив на їх по-
ведінку відношення основних модулів пружності матеріалу.
Ключові слова: коефіцієнт інтенсивності напружень, теорія пружності, квазіорто-
тропне середовище, криволінійна тріщина, метод сингулярних інтегральних рівнянь.
Плоскі задачі теорії пружності для анізотропних та ортотропних тіл з тріщи-
нами розглядали раніше [1–6], причому корені характеристичного рівняння вва-
жали різними. Вивчали також вироджений анізотропний матеріал, коли корені
характеристичного рівняння кратні [7]. Вироджений ортотропний матеріал нази-
вають квазіортотропним [8–10]. До цього класу належать ізотропні матеріали, а
також різні композитні матеріали на основі кераміки, волокнисті та шаруваті
композити тощо [11]. У літературі [12] такі тіла також іменують псевдоізотроп-
ними, а в задачах теорії ортотропних оболонок з прямолінійними тріщинами –
спеціально-ортотропними [13–16].
Нижче методом сингулярних інтегральних рівнянь розглянуто плоску задачу
теорії пружності для квазіортотропної площини з криволінійними тріщинами.
Отримано коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН) для довільно розміщених
прямолінійної та параболічної тріщин.
Основні співвідношення плоскої задачі теорії пружності для квазіорто-
тропного середовища. Лінійні залежності між компонентами тензорів напру-
жень s x, s y, t xy та деформацій e x, e y, e xy (закон Гука) за плоского напруженого ста-
ну для ортотропного тіла в декартовій системі координат xyz, коли координатні
осі x і y вибрано вздовж головних осей ортотропії, мають вигляд [17]
2a =
e x a = 11 x a + 12 y , s y e a= s a + , s xy e 66 xy , t
s
22 y
12 x
де a 11 = 1/E x; a 22 = 1/E y; a 12 = –n xy/E x; a 66 = 1/G. Тут E x = E 1, E y = E 2 (E x = E 2, E y = E 1)
– модулі пружності для розтягу–стиску вздовж осей x і y; n xy = n 12 (n xy = n 21 =
= n 12 E 2/E 1 ) – коефіцієнт Пуассона за стиску площини у напрямі осі y(x), якщо
розтяг вздовж осі x(y); G = G 12 = G xy = G 21 = G yx – модуль зсуву, що характеризує
зміну кутів між головними осями.
Вважатимемо, що пружні сталі a ij зв’язані залежністю

Контактна особа: М. П. САВРУК, e-mail: savruk@ipm.lviv.ua
17