Page 21 - Zmist-n3-2015-new

за відсутності напружень на нескінченності.
Крайову умову (14) можна також записати у вигляді
1 
dt dt
ɶ
 (i g )X ± Y - ±  ds P = ɶ ( )t P = ( )t =  (1 + - ) ( )p t- g   . (15)
) ( ) (1p tg
 n n  dt 1 1 1 2g  dt dt 1

Використавши співвідношення (9) та задовольнивши умову (14) за допомо-
гою потенціалів (13) отримаємо сингулярне інтегральне рівняння для визначення
невідомої функції g¢ ( )t [9]:
1
1
1
( )t= ,
t
( , ) ( )t g¢ t
∫ [K t 1 1 1 1 d t L+ ( , ) ( )t g ¢ 1 dt 1 ] Pt ɶ 1 1 (16)
1
1
1 1
1
1
p
L 1
1  1 1 dt  1  1 t t - dt 
де K t 1 1 =  + 1  ; L 1 ( , )t t =  - 1 1 1 .  (17)
( , )t
1
1 1
2

2 t - t 1 1 t t dt- 1  2   1 t t - (t - t 1 ) dt 1  
1
1
1
1
Зауважимо, що інтегральне рівняння (16) узгоджується з відомим для виро-
дженого анізотропного тіла [13], отриманим граничним переходом із загального
випадку анізотропної площини з криволінійними тріщинами. Його розв’язок по-
винен задовольняти умову
∫ g¢ ( )t dt = , (18)
0
1
1 1
L 1
яка забезпечує однозначність переміщень за обходу контуру тріщини L.
Комплексні потенціали напружень (13) та сингулярне інтегральне рівняння
(16) справедливі також і для системи криволінійних тріщин у квазіортотропній пло-
щині, коли символ L позначає сукупність контурів тріщин, проте додаткова умова
однозначності переміщень (18) повинна виконуватися для кожної тріщини окремо.
Розподіл напружень біля вершини тріщини. Асимптотичний розподіл на-
пружень біля вершини тріщини на осі x у квазіортотропному двовимірному тілі
описують залежності [7, 8]
 K  g 2 (2cos q - sin )g  q K  4 cosi g 3q - sing  q
2
i
 s ≃ I Re   - II Re  ; 
x
 2 rp   2(cosq + g 3/ 2 2 rp   2(cos i q + sin )g 3/ 2 q  
i
sin )q  

 K  2cosq + g  q K  sin q 
3 sini
 s ≃ I Re   + II Re  ;  (19)
y
i
 2 r p   2(cosq + g 3/ 2 2 r p   2(cos i q + sin )g 3/ 2 q  
sin )q  

2
 K I  g sin q  K II  2cos q + sing  q
i
 t ≃ Re  3/ 2  + Re  3/ 2 , 
xy
sin ) q  
i
sin )q  
 2 r p   2(cosq + g 2 r p   2(cos i q + g
де K I і K II – КІН у вершинах тріщини; r – віддаль від її вершини; q – кут, який від-
лічують від лінії тріщини. Звідси випливають формули для визначення КІН через
напруження на продовженні тріщини:
K - iK II = lim 2 rp s ( ,0)r i- t ( ,0)]r . (20)
[
xy
y
I
r® 0
Співвідношення (19) і (20) справедливі для довільно орієнтованої тріщини,
зокрема і для криволінійної, якщо вважати x і y та r і q локальними декартовими
та полярними координатами, зв’язаними з напрямком дотичної у вершині тріщи-
ни та самою вершиною.
Використовуючи відповідні результати для анізотропного тіла з криволіній-
ною тріщиною [7], отримаємо для квазіортотропного тіла вирази КІН на початку
- - + +
( K I ,K ) та в кінці ( K I ,K ) тріщини через розв’язок сингулярного інтегрально-
II
II
го рівняння
20