Page 22 - Zmist-n3-2015-new

( 1) ¢
u ± w 1 ( 1)±
±
1
K = ± p Im ,
I
( 1) | |±
¢
| i w ¢ w ( 1) |±
(21)
¢
) ( 1)] ±
( 1)[(1 + g w ± -
u ± ) ( 1) (1 - g ¢ w
± 1
K = ± p Re ,
II
¢
( 1) | | w ±
¢
2 | i w ± ( 1) |
де
t = w ( )x = ( ) i yx + ( )g x; t = w ( )x = ( ) iyx + ( ), 1x - 1 £ x £;
x
x
1 1
2
u ( )x 1 - x = ( )x g= ( )t ¢ ( ) ¢ x.
g¢
w
1 1 1 1 1
Величини u 1(±1) знаходять із розв’язку інтегрального рівняння (16) [20].
Прямолінійна тріщина довільної орієнтації в квазіортотропній площині.
Розглянемо в квазіортотропній площині прямолінійну тріщину L довжиною 2l,
нахилену під кутом a до осі x і на берегах якої задані самозрівноважені напруження
+
iT
N + iT + = N - + - p = ( ), t t LÎ,
причому напруження та поворот на нескінченності відсутні. Вважатимемо також,
що береги тріщини не контактують.
Параметричне рівняння контурів L та L 1 подамо у вигляді
ia
t = w lex , t = w ( )h, t = w ( )x = x / 2G, t = w ( )h,
( ) x =
l
1 1 1 1
i - a
де G = (1 + )eg ia (1+ )e - g ; ,x hÎ [ 1;1]- .
Тоді ядра (17) та права частина рівняння (16) матимуть вигляд
2 1 ⌢
K x , L 1 ( , ) 0;x h = P ɶ 1 ( )h = P 1 ( );h
( , ) h =
1
(x - h G gG
)l
⌢
2i a
-
де P ( ) (1h = + ) ( ) (1pg h - ) ( )p - g e h .
1
Запишемо інтегральне рівняння задачі у безрозмірній формі:
1
1 u ( )dx x 1 ⌢
∫ 1 = P 1 ( ), 1h - £ h 1£.
p 2 2 g
(
- 1 1- x x - )h
Розв’язок цього рівняння за умови (18) знайдемо за формулами (див., на-
приклад [20])
⌢
1 2 1
1 1- h P 1 ( )dh h 1 1± h ⌢
u 1 ( )x = ∫ , ( 1)u ± = ± ∫ P 1 ( )dh .h
1
2gp x - h 2gp 1 h
∓
- 1 - 1
Скориставшись виразами (21), дістанемо КІН
1 1± h
l
±
K - iK ± = 2 - Re ∫ p ( )dh .h
II
I
p 1 h∓
- 1
Якщо береги тріщини навантажені сталими нормальним (s) та дотичним (t)
i
напруженнями ( ( )p h = -s - t const= ), отримаємо:
±
K - iK ± = 2 ( l p s i- ).t
I
II
Коли нескінченна площина з вільною від навантаження тріщиною піддаєть-
¥ ¥
p
ся на нескінченності розтягу зовнішніми напруженнями s = і s = , маємо:
q
y
x
±
)e
K - iK ± = p ( l p q+ ( p q- - 2i a ).
I
II
Таким чином, у квазіортотропному тілі КІН у вершині довільно орієнтованої
прямолінійної тріщини за самозрівноваженого навантаження на її берегах такі
самі, як і в ізотропному, хоча напруження на продовженні тріщини різняться.
21