Page 20 - Zmist-n3-2015-new

dt
X + iY = - (N + ) =
i
iT
n
n
ds
(8)
F 
d  ¶ F ¶
=  i -  ,

ds ¶ y x ¶ 
де s – дугова абсциса на контурі L, що
відповідає точці t = x iy+ Î L .
Використовуючи подання (5) і (8),
знаходимо:

ds
(( / )i g X n Y - n ) = Рис. 1. Параболічна тріщина
dt 1
в квазіортотропній площині.
dt 1
( )t
= F 1 1 + F 1 1 + (t F ( )t ¢ + (9) Fig. 1. A parabolic crack
( )t
1 1
1
dt
1 in a quasi-orthotropic plane.
( )) ,t
+ Y 1 1 t Î L 1 .
1
Співвідношення (7) і (9) дають змогу основні задачі теорії пружності зводи-
ти до крайових задач теорії функції комплексної змінної.
Інтегральні зображення комплексних потенціалів. Знайдемо розв’язок
допоміжної задачі, коли на розімкненому криволінійному контурі L у квазіорто-
тропній площині напруження неперервні, переміщення розривні
[( / )i g X n Y - n ] + - X g n Y- ] - 0, t= , LÎ (10)
[( / )i
n
2
4ig
[u + ( / ) ]i g v + [u - ( / ) ]i + vg - = g ( ),t t LÎ , (11)
E x
а на нескінченності напруження і поворот відсутні. Тут верхні індекси “+” і “–”
вказують на граничне значення відповідних величин, коли z® tÎL відповідно злі-
ва (+) або справа (–) щодо вибраного додатного напряму обходу контуру L (рис. 1).
Після диференціювання рівність (11) набуде вигляду
2
d  + -  4ig
( u + ( / )i g v ) - u ( ( / )i+ vg ) = g¢ 1 x i y+ g Î , (12)
( )t , t =
L
1
1 1
dt     E x
1
де g 1(t 1) = g(t).
Скориставшись співвідношеннями (7), (9), (10) і (12), отримаємо крайову задачу
F 1 + ( )t - F 1 - ( )t 1 = ig¢
( );t
1 1
1
+ - dt 1
=
t F ( )t ¢ + Y ( )t - t F ( )t ¢ + Y ( )t ] i g  ( )t¢ - ( )t  ¢ , t L Î ,
g
[ 1 1 1 1 1 ] [ 1 1 1 1 1  1 1 1 1  dt 1 1 1
розв’язок якої відомий [20]:
¢
1 g¢ 1 1  g ¢ 1 t g ( )t dt 1 
( )t dt
( )t dt
1 1
1 1
1 1 1
F 1 ( )z = ∫ ; Y 1 ( )z 1 = ∫  - .  (13)
1
2
2p t - z 2 p L  t z - (t - z )  
L 1 1 1 1  1 1 1 1
Співвідношення (13) можна розглядати як інтегральні зображення комплекс-
них потенціалів напружень F 1(z 1) і Y 1(z 1) через похідну стрибка вектора пере-
міщень на криволінійному контурі L за неперервних напружень на ньому.
Інтегральне рівняння. На підставі зображення комплексних потенціалів
(13) можна розглядати різноманітні крайові плоскі задачі для пружного квазіор-
тотропного тіла з отворами та тріщинами [20]. Нехай на берегах тріщини L задані
зрівноважені напруження (перша основна задача)
+ + - -
N + iT = N + p = ( ), t t Î (14)
iT
L
19