Page 19 - Zmist-n3-2015-new

a = 2( a a - a ) , (1)
66 11 22 12
або G = E 1 / 2( E E + n – для плоского напруженого стану. Співвідношення
)
/
12
1
2
(1) може служити ознакою квазіортотропного тіла.
Для плоскої деформації ортотропного тіла пружні сталі a ij у законі Гука не-
обхідно замінити на величини a¢= a - (a a )/ a , де a = -n / E a =
,
ij ij 3 i 3 j 33 13 13 1 23
1/ E – відповідні пружні характеристики матеріалу.
= -n / E , a =
23 2 33 3
Введемо функцію напружень F(x, y) залежностями [17]
2 2 2
¶ F ¶ F ¶ F
s = 2 ; s = 2 ; s = - . (2)
y
z
x
y ¶ x ¶ ¶ x y¶
За відсутності масових сил функція F(x, y) для квазіортотропного тіла задо-
вольняє еліптичне диференційне рівняння четвертого порядку
4 4 4
¶ F 2 ¶ F 4 ¶ F
4 + 2 g 2 2 + g 4 0= , (3)
x y¶
y ¶ ¶ x¶
характеристичне рівняння якого має вигляд
4
4
2 2
m + 2 g m + g =. (4)
0
Тут g = 4 a 22 a 11 – параметр ортотропії. Для плоского напруженого стану
g = 4 E x / E . Рівняння (4) має комплексно спряжені кратні корені m = m = g,
i
1
y
2
m = m = i- g. Для ізотропного матеріалу g = .
1
2
1
Загальний розв’язок рівняння (3) для квазіортотропного тіла можна подати
через аналітичні функції j 1(z 1) і c 1(z 1) від комплексного аргументу z 1 = x + igy у
вигляді [17]
F ( )z = Re[z j ( )z 1 + c ( )]z 1 . (5)
1
1
1 1
На основі співвідношень (2) і (5) виразимо компоненти напружень через
комплексні потенціали F 1 ( )z = j ¢ ( )z і Y 1 ( )z = y ¢ ( )z 1 = c ( )z ¢¢ за формулами
1
1
1
1
1
1
1
 s ( )z = -g Re Y ( )z z + ¢ ( ) 2z F - ( )z F } ,
2
 x 1 { 1 1 1 1 1 1 1

¢
 s y ( )z 1 = Re Y 1 1 z + F ( ) 2z 1 + F ( )z 1 } ,
{ ( )z
1
1 1

Im
  t xy ( )z 1 = g { 1 Y ( )z 1 z + 1 1 ¢ ( )z F 1 } .
Декартові компоненти вектора переміщення u і v можна також записати
¢
через комплексні потенціали j 1 ( )z та y 1 ( )z 1 = c ( )z [18]:
1
1
1
-
2 [G u + (i g ( )z z ¢ ( )zj ( )]z - y , (6)
) ]n = kj
1 1 1 1 1 1 1
де k = (3 a 22 a 11 a + 12 a 22 ) ( a 22 a 11 a - 12 a 22 ) .
2
Для плоского напруженого стану k = (3 g - n )/( 2 g xy ) + n.
xy
З рівності (6) отримаємо:
d dt
t
( )tF
( )t F
t
)v
( )t
¢
2G ( u + (i g )= kF - 1 1 - 1 ( 1 1 1 + ( ) ,tY )1 x i y L= + g Î, (7)
1
1 1
1 1
dt 1 dt 1
де L 1 – контур у допоміжній площині z 1 = x + igy, що відповідає криволінійному
контуру L у комплексній площині z = x + iy.
Нехай X n і Y n – декартові компоненти вектора напружень, що діють з боку
додатної нормалі n на криволінійному контурі L (рис. 1). Вони пов’язані з
нормальною і дотичною компонентами напружень N і T залежністю [19]
18