Page 89 - Zmist-n2-2015

2
1 T¶ ¶ T Q
= + (10)
a t¶ z ¶ 2 æ
за початкової
T ( ,0)z = T (11)
0
та крайових
¶ T ( , )l t ¶ T (0, )t
- = L [ ( , )T l t - 0 ] , = 0 (12)
T
z ¶ z ¶
умов, де æ і a – коефіцієнти тепло- і температуропровідності; L – коефіцієнт теп-
ловіддачі з поверхні [5]. У рівнянні (10) тепловиділення Q описує вираз (6). Тут і
надалі чинники дії ЕМП рівні усередненим за часом (дужки біля них опуска-
ємо).
У системі рівнянь термопружності [6] матимемо ненульову компоненту пе-
реміщень u º u ( , )z t та три компоненти тензора напружень s ,s і s . З умов
z
zz
yy
xx
рівноваги для знаходження компоненти s за умови (7) отримуємо рівняння
zz
T
( ¶ s + zz )/ z¶ 0= (13)
zz
за крайових умов
u (0, ) 0t = , s zz ( , ) 0l t = . (14)
З рівнянь (13), (14) дістаємо:
s zz ( ) 0z º . (15)
На основі співвідношень Дюгамеля–Неймана [6] знаходимо вирази для від-
мінних від нуля компонент тензора напружень
s xx = s yy = E- p T a (T T- )/(1 - )n, (16)
p
0
а також рівняння для визначення переміщень
u ¶ 1+ n p
= a T (T - T 0 ) (17)
z ¶ 1 - n
p
за першої з крайових умов (14). Тут E p , n p , a – модуль Юнґа, коефіцієнт Пуас-
T
сона та лінійний коефіцієнт теплового розширення. Зауважимо, що компоненти
напружень s xx = s шукають за відомим розподілом температури.
yy
Задачу теплопровідності (10)–(12) розв’язували, використовуючи перетво-
рення Лапласа [7]. При цьому для функції ( , )T z t знайшли вираз
 2 
Q  2  2 2 ¥ cosm z e× - a tm n 

T ( , )z t = T +  1 +  l z - 4 Bi- ∑ n , (18)
0

2æ  Bi  n= 0 m 2  Bi (Bi 1)+ + m l  cos m l 
2 2
  n  n  n  
де Bi º Ll – критерій Біо [5], а m n – корені трансцендентного рівняння
Bi cosm n l = m l sin m . (19)
l
n
n
Інтегруючи рівняння (17) з урахуванням (18) за першої з крайових умов (14),
отримали такий вираз для переміщень:
 2 

1+ n a Q  2  2 z 3 ¥ sinm n z e× - a tm n 
p
4Bi ∑
u ( , )z t = T   1 +  l z - -  . (20)
2 2
1- n p 2æ    Bi  3 n= 0 m 3 n   Bi (Bi 1) + m l   cos m  
l
+
n
n
Використовуючи формулу (17) з праці [1], а також співвідношення (9), ви-
значили відмінні від нуля компоненти несиметричного тензора напружень:
93